Question

【題目】已知，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=3，BC=10，AD=5，M是BC邊上的任意一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)DM，聯(lián)結(jié)AM．

（1）若AM平分∠BMD，求BM的長(zhǎng)；

（2）過(guò)點(diǎn)A作AE⊥DM，交DM所在直線于點(diǎn)E．

①設(shè)BM=x，AE=y求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

②聯(lián)結(jié)BE，當(dāng)△ABE是以AE為腰的等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出BM的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）1或9；（2）①y=．②1或9或4．

【解析】

(1)考慮∠DMB為銳角和鈍角兩種情況即可解答；

(2) ①作MH⊥AD于H，根據(jù)勾股定理，用被開(kāi)方式含x的二次根式表示DM，根據(jù)△ADM面積的兩種算法建立等式，即可求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；②分AB=AE和EA=EB兩種情況討論求解.

解：（1）如圖1中，作DH⊥BC于H．則四邊形ABHD是矩形，AD=BH=5，AB=DH=3．

當(dāng)MA平分∠DMB時(shí)，易證∠AMB=∠AMD=∠DAM，可得DA=DM=5，

在Rt△DMH中，DM=AD=5，DH=3，

∴MH===4，

∴BM=BH-MH=1，

當(dāng)AM′平分∠BM′D時(shí)，同法可證：DA=DM′，HM′=4，

∴BM′=BH+HM′=9．

綜上所述，滿足條件的BM的值為1或9．

（2）①如圖2中，作MH⊥AD于H．

在Rt△DMH中，DM==，

∵S△ADM=ADMH=DMAE，

∴5×3=y

∴y=．

②如圖3中，當(dāng)AB=AE時(shí)，y=3，此時(shí)5×3=3，

解得x=1或9．

如圖4中，當(dāng)EA=EB時(shí)，DE=EM，

∵AE⊥DM，

∴DA=AM=5，

在Rt△ABM中，BM==4．

綜上所述，滿足條件的BM的值為1或9或4．

故答案為：（1）1或9；（2）①y=．②1或9或4．