【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線l x軸、y軸分別交于點(diǎn)M,N,高為3的等邊三角形ABC,邊BCx軸上,將此三角形沿著x軸的正方向平移,在平移過程中,得到A1B1C1,當(dāng)點(diǎn)B1與原點(diǎn)重合時(shí),解答下列問題:

1)求出點(diǎn)A1的坐標(biāo),并判斷點(diǎn)A1是否在直線l上;

2)求出邊A1C1所在直線的解析式;

3)在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點(diǎn)P,使得以P、A1、C1、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,請直接寫出P點(diǎn)坐標(biāo).

【答案】1A1,3),在直線上;(2;(3P1,3),P2,﹣3),P3(﹣,3).

【解析】試題分析:

(1) 根據(jù)題意畫出示意圖,過點(diǎn)A1x軸的垂線AD,RtA1DB1中利用等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理可以求得線段A1DB1D的長,進(jìn)而寫出點(diǎn)A1的坐標(biāo). 將點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)代入直線l的解析式,求得相應(yīng)的縱坐標(biāo)通過對比求得的縱坐標(biāo)和點(diǎn)A1的縱坐標(biāo)可以判斷點(diǎn)A1與直線l的位置關(guān)系.

(2) 根據(jù)等邊三角形的邊長容易得到點(diǎn)C1的坐標(biāo). 利用點(diǎn)A1和點(diǎn)C1的坐標(biāo),結(jié)合一次函數(shù)的一般形式,可以獲得關(guān)于待定系數(shù)的方程,求解這些方程進(jìn)而可以寫出邊A1C1所在直線的解析式.

(3) 由于利用A1C1M的三個(gè)內(nèi)角均可以構(gòu)造出符合題意的平行四邊形,所以本小題應(yīng)對這三種情況分別進(jìn)行討論. 根據(jù)題意畫出各種情況的示意圖. 當(dāng)以∠A1C1M為平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角構(gòu)造平行四邊形時(shí),可以過點(diǎn)A1y軸的垂線AE,利用RtA1B1E中的幾何關(guān)系求得線段A1EB1E的長. 利用點(diǎn)M的坐標(biāo)和等邊三角形的邊長可以得到線段C1M的長,進(jìn)而獲得線段A1P的長從而可以寫出點(diǎn)P的坐標(biāo). 當(dāng)以∠A1MC1為平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角構(gòu)造平行四邊形時(shí),利用RtA1B1F中的幾何關(guān)系和線段C1M的長,可以求得線段A1FB1F的長,進(jìn)而寫出點(diǎn)P的坐標(biāo). 當(dāng)以∠C1A1M為平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角構(gòu)造平行四邊形時(shí),可以過點(diǎn)Px軸的垂線PG利用平行四邊形的性質(zhì)獲得線段PM的長,利用RtPGM中的幾何關(guān)系和線段B1M的長,可以求得線段PGOG的長,進(jìn)而寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

試題解析:

(1)

如圖,過點(diǎn)A1A1DOM,垂足為D.

∵△A1B1C1是等邊三角形,A1DOM,

∴∠B1A1D=30°,

∴在RtA1DB1中, ,

A1D=3

∴在RtA1DB1中,

.

∴點(diǎn)A1的坐標(biāo)為(, 3).

由直線l的解析式,得

當(dāng)x=時(shí), ,

∴點(diǎn)A1在直線l.

(2) ∵△A1B1C1是等邊三角形, ,

.

∴點(diǎn)C1的坐標(biāo)為(, 0).

設(shè)直線A1C1的解析式為y=kx+b (k0).

將點(diǎn)A1 (, 3),點(diǎn)C1 (, 0)的坐標(biāo)分別代入直線A1C1的解析式,得

,

解之,得

,

∴直線A1C1的解析式為.

(3) 點(diǎn)P的坐標(biāo)為(, 3),(, 3)(, -3). 求解過程如下.

根據(jù)題意,分別對下面三種情況進(jìn)行討論.

①若以∠A1C1M為平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角,則所求平行四邊形為平行四邊形A1C1MP.

如圖①,過點(diǎn)A1A1EON,垂足為E.

由直線l的解析式,得

當(dāng)y=0時(shí), ,

x=.

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(, 0).

OM=.

,

,

.

∵△A1B1C1是等邊三角形,

∴∠A1B1C1=60°

∴∠A1B1E=90°-A1B1C1=90°-60°=30°.

∴在RtA1EB1中, .

A1PC1M,A1EON

∴點(diǎn)E,A1,P在同一條直線上,

.

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(, 3).

②若以∠A1MC1為平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角,則所求平行四邊形為平行四邊形PC1MA1.

A1PC1M,

A1FON,

∴在RtA1FB1中, , .

,

.

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(, 3).

③若以∠C1A1M為平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角,則所求平行四邊形為平行四邊形A1C1PM.

如圖③,過點(diǎn)PPGOM,垂足為G.

∵△A1B1C1是等邊三角形,

∴∠A1C1B1=60°,

∴∠A1C1M=180°-A1C1B1=180°-60°=120°,

A1C1PM,

∴∠PMC1=A1C1M=120°,

∴∠PMG=180°-PMC1=180°-120°=60°,

∴在RtPMG中,∠MPG=90°-PMG=90°-60°=30°.

,

∴在RtPGM中, ,

.

OM=,

.

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(, -3).

綜上所述,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(, 3),(, 3)(, -3).

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