Question

【題目】如圖，已知直線y=3x+3與x軸交于點A，與y軸交于點C，過點C的直線y=﹣x+b與x軸交于點B．

（1）b的值為______；

（2）若點D的坐標為（0，﹣1），將△BCD沿直線BC對折后，點D落到第一象限的點E處，求證：四邊形ABEC是平行四邊形；

（3）在直線BC上是否存在點P，使得以P、A、D、B為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）證明見解析；（3）存在，P1（4，－1），P2（2，1）

【解析】分析：（1）先由點C在直線y=3x+3上，求出點C坐標，代入直線y=-x+b中即可．（2）先求出∠OBC=∠OCB=45°，進而判斷出CE∥AB，最后判斷出CE=AB 即可；（3）方法①先確定出直線AD，BC解析式，進而判斷出AD∥BC，使得以P、A、D、B為頂點的四邊形是平行四邊形，只要AD=PB即可．

本題解析: (1)∵直線y=3x+3與x軸交于點A，與y軸交于點C，

∴C(0,3)，

∵過點C的直線y=x+b與x軸交于點B，

∴b=3，

故答案為3，

(2)證明：當b=3時，直線BC為y=x+3

由x=0得，y=3，

∴C(0,3)，OC=3

由y=0得，x=3，

∴B(3,0)，OB=3

∴OB=OC=3

∴∠OBC=∠OCB=45°

由折疊得：∠BCE=∠OCB=45°

CE=CD=OC+OD=4

∴∠OBC=∠BCE

∴CE∥AB

由y=3x+3，令y=0得，x=1，

∴A(1,0)

∴AB=OA+OB=3+1=4

∴AB=CE

∴四邊形ABEC為平行四邊形。

(3)存在點P，使以P、A、 D、 B為頂點的四邊形是平行四邊形。

如圖，

∵A(1,0)、D(0,1)，

∴直線AD解析式為y=x1，

∵B(3,0),C(0,3)，

∴直線BC解析式為y=x+3.

∴AD∥BC，

∵點P在直線BC上，

∴設點P坐標為(m,m+3)，

∴，

∵使得以P、A、D、B為頂點的四邊形是平行四邊形，

∴PB=AD，

∴，

∵，

∴ .

∴，

∴P(2,1)或P(4,1)，

綜上所述,存在點P,使以P、A、D、 B為頂點的四邊形是平行四邊形。點P的坐標為 (2,1)或 (4,1).