Question

【題目】如圖1，二次函數(shù)y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D．

（1）求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)（用含a的代數(shù)式表示）；

（2）若以AD為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C．

①求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；

②如圖2，點(diǎn)E是y軸負(fù)半軸上一點(diǎn)，連接BE，將△OBE繞平面內(nèi)某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，得到△PMN（點(diǎn)P、M、N分別和點(diǎn)O、B、E對(duì)應(yīng)），并且點(diǎn)M、N都在拋物線上，作MF⊥x軸于點(diǎn)F，若線段MF：BF＝1：2，求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；

③點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上，以Q為圓心的圓過A、B兩點(diǎn)，并且和直線CD相切，如圖3，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）（1，﹣4a）；（2）①y=﹣x2+2x+3；②M（，）、N（，）；③點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，﹣4+2）或（1，﹣4﹣2）．

【解析】

分析: （1）將二次函數(shù)的解析式進(jìn)行配方即可得到頂點(diǎn)D的坐標(biāo)．

（2）①以AD為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C，即點(diǎn)C在以AD為直徑的圓的圓周上，依據(jù)圓周角定理不難得出△ACD是個(gè)直角三角形，且∠ACD＝90°，A點(diǎn)坐標(biāo)可得，而C、D的坐標(biāo)可由a表達(dá)出來，在得出AC、CD、AD的長度表達(dá)式后，依據(jù)勾股定理列等式即可求出a的值．

②將△OBE繞平面內(nèi)某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△PMN，說明了PM正好和x軸平行，且PM＝OB＝1，所以求M、N的坐標(biāo)關(guān)鍵是求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；首先根據(jù)①的函數(shù)解析式設(shè)出M點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)題干條件：BF＝2MF作為等量關(guān)系進(jìn)行解答即可．

③設(shè)⊙Q與直線CD的切點(diǎn)為G，連接QG，由C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)不難判斷出∠CDQ＝45°，那么△QGD為等腰直角三角形，即QD ＝2QG ＝2QB ，設(shè)出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，然后用Q點(diǎn)縱坐標(biāo)表達(dá)出QD、QB的長，根據(jù)上面的等式列方程即可求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

詳解:

（1）∵y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣1）2﹣4a，

∴D（1，﹣4a）．

（2）①∵以AD為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)C，

∴△ACD為直角三角形，且∠ACD=90°；

由y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣3）（x+1）知，A（3，0）、B（﹣1，0）、C（0，﹣3a），則：

AC2=9a2+9、CD2=a2+1、AD2=16a2+4

由勾股定理得：AC2+CD2=AD2，即：9a2+9+a2+1=16a2+4，

化簡，得：a2=1，由a＜0，得：a=﹣1，

②∵a=﹣1，

∴拋物線的解析式：y=﹣x2+2x+3，D（1，4）．

∵將△OBE繞平面內(nèi)某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△PMN，

∴PM∥x軸，且PM=OB=1；

設(shè)M（x，﹣x2+2x+3），則OF=x，MF=﹣x2+2x+3，BF=OF+OB=x+1；

∵BF=2MF，

∴x+1=2（﹣x2+2x+3），化簡，得：2x2﹣3x﹣5=0

解得：x1=﹣1（舍去）、x2=.

∴M（，）、N（，）．

③設(shè)⊙Q與直線CD的切點(diǎn)為G，連接QG，過C作CH⊥QD于H，如下圖：

∵C（0，3）、D（1，4），

∴CH=DH=1，即△CHD是等腰直角三角形，

∴△QGD也是等腰直角三角形，即：QD2=2QG2；

設(shè)Q（1，b），則QD=4﹣b，QG2=QB2=b2+4；

得：（4﹣b）2=2（b2+4），

化簡，得：b2+8b﹣8=0，解得：b=﹣4±2；

即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1，）或（1，）．