【題目】如圖,拋物線軸交于兩點(diǎn),與軸交于點(diǎn),且.

(1)求拋物線的解析式.

(2)若點(diǎn)是拋物線上一點(diǎn),那么在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上,是否存在一點(diǎn),使得的周長(zhǎng)最小?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo):若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.注:二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸是直線.

【答案】(1);(2)存在,P坐標(biāo)為時(shí),周長(zhǎng)最小.

【解析】

1)根據(jù)OC=3,可知c=3,于是得到拋物線的解析式為y=-x2+bx+3,然后將A-1,0)代入解析式即可求出b的值,從而得到拋物線的解析式;(2)由于BD為定值,則BDP的周長(zhǎng)最小,即BP+DP最小,由于點(diǎn)C和點(diǎn)D關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng),∴連接BC交拋物線對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)P,此時(shí)點(diǎn)P即為所求.

(1)

∴A(-1,0),C(0,3)

∴,拋物線

代入,

;

(2)存在,理由如下:

如圖:的對(duì)稱(chēng)軸為

由于點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)

∴由對(duì)稱(chēng)性可知

由于B(0,3),D(2,3),所以根據(jù)勾股定理可知BD為定值,則BP+DP最小時(shí),BDP的周長(zhǎng)最小,

由∵C(0,3),D(2,3)

C、D兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng),即連接BC交直線x=1為點(diǎn)P,此時(shí)BDP的周長(zhǎng)最小.

設(shè)

代入得

點(diǎn)P坐標(biāo)為時(shí),最小,即周長(zhǎng)最小.

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1)求拋物線的解析式;

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