Question

【題目】如圖，邊長(zhǎng)均為的正和正原來(lái)完全重合．如圖，現(xiàn)保持正不動(dòng)，使正繞兩個(gè)正三角形的公共中心點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角度為．（注：除第題中的第②問(wèn)，其余各問(wèn)只要直接給出結(jié)果即可）

當(dāng)多少時(shí)，正與正出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的第一次完全重合？

當(dāng)時(shí)，要使正與正重疊部分面積最小，可以取哪些角度？

旋轉(zhuǎn)時(shí)，如圖，正和正始終具有公共的外接圓．當(dāng)時(shí)，記正與正重疊部分為六邊形．當(dāng)在這個(gè)范圍內(nèi)變化時(shí)，

①求面積相應(yīng)的變化范圍；

②的周長(zhǎng)是否一定？說(shuō)出你的理由．

Answer 1

【答案】；當(dāng)、或時(shí)重疊部分面積最小；①；②的周長(zhǎng)一定；理由見(jiàn)解析.

【解析】

（1）因?yàn)楫?dāng)B′與A重合時(shí)正△A'B'C'與正△ABC出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的第一次完全重合，故α=120°；

（2）當(dāng)△A′B′C′中任意一條邊與△ABC平行時(shí)重疊部分面積最小，由（1）可知當(dāng)B′與A重合時(shí)正△A'B'C'與正△ABC出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的第一次完全重合時(shí)α=60°，所以當(dāng)α=60°、180°或300°時(shí)重疊部分面積最��；

（3）①由于兩三角形的邊長(zhǎng)均為6，所以當(dāng)A′B′∥BC時(shí)，△ADI為等邊三角形，所以ID=2，所以S△ADI=IDAIsin60°=×2×2×=，進(jìn)而可得出結(jié)論；

②連接AB′，根據(jù)AB=A'B'，可得出，再根據(jù)圓周角定理即可得出IA=IB'，DA=DA'，進(jìn)而可得出結(jié)論．

∵當(dāng)與重合時(shí)正與正出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的第一次完全重合，此時(shí)點(diǎn)與重合，旋轉(zhuǎn)角度，

∴當(dāng)時(shí)，正與正

出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的第一次完全重合；

當(dāng)中任意一條邊與平行時(shí)重疊部分面積最小，

∵由可知當(dāng)與重合時(shí)正與正出現(xiàn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中的第一次完全重合時(shí)，

∴當(dāng)、或時(shí)重疊部分面積最��；

①∵兩三角形的邊長(zhǎng)均為，

∴當(dāng)時(shí)，為等邊三角形，

∴，

∴，

∴面積相應(yīng)的變化范圍為：

②的周長(zhǎng)一定；理由如下：

連接，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

同理，，

∴的周長(zhǎng)：．