Question

如圖1，在△ABC中，∠A=72°，∠ABC與∠ACB的平分線交于I．
（1）求∠BIC的度數(shù)；
（2）如圖2，如果∠ABC和∠ACB的三等分線分別交于點D，E，求∠BDC和∠BEC的度數(shù)；
（3）設想一下，如果∠ABC和∠ACB的n等分線相交，你能求出它們所成鈍角的度數(shù)嗎？

Answer 1

考點：三角形內(nèi)角和定理,三角形的外角性質(zhì)

專題：規(guī)律型

分析：（1）根據(jù)角平分線的定義，直接求出∠IBC+∠ICB的值，運用三角形的內(nèi)角和定理即可解決問題．
（2）類比（1）中的解法，分別求出α+β，2（α+β）的值，運用三角形的內(nèi)角和定理即可解決問題．
（3）類比上述解法，求出α+β的值，運用三角形的內(nèi)角和定理即可解決問題．

解答：解：（1）如圖1，

設∠ABC=2α，∠ACB=2β；
∵∠ABC與∠ACB的平分線交于I，
∴∠IBC+∠ICB=α+β；而∠A=72°，
∴72°+2（α+β）=180°，
∴α+β=54°，
∴∠BIC=180°-（α+β）=126°．

（2）如圖2，

設∠ABC=3α，∠ACB=3β，
由題意得：3α+3β+72°=180°，
∴α+β=36°；
∵∠ABC和∠ACB的三等分線分別交于點D，E，
∴∠DBC+∠DCB=2（α+β）=72°，
∴∠BDC=180°-72°=108°；
∠BEC=180°-（α+β）=144°．

（3）設∠ABC=nα，∠ACB=nβ，
則n（α+β）+72°=180°，
則α+β=

108°

n

，
則它們所成鈍角的度數(shù)分別為：180°-

108°

n

，180°-

2×108°

n

，…，180°-

(n-1)180°

n

．

點評：該題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理及其應用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運用三角形的內(nèi)角和定理等幾何知識來分析、判斷、推理或解答．