Question

如圖，已知正方形ABCD，P為內(nèi)部一點，PA=

2

，PB=1，PC=2，求正方形ABCD面積．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等腰直角三角形,正方形的性質(zhì)

專題：計算題

分析：根據(jù)正方形的性質(zhì)得BA=BC，∠ABC=90°，則可把△BAP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BCE，連接PE，作CH⊥BE于H，如圖，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得EB=PB=1，EC=PA=

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，∠PBE=90°，則可判斷△PBE為等腰直角三角形，所以PE=

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PB=

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，∠PEB=45°，再利用勾股定理的逆定理證明△PEC為直角三角形，∠PEC=90°，則∠CEH=45°，所以△CEH為等腰直角三角形，得到CH=EH=

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EC=1，則BH=BE+EH=2，在Rt△BHC中，根據(jù)勾股計算出BC²=5，則正方形ABCD面積為5．

解答：解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴BA=BC，∠ABC=90°，
∴把△BAP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°可得到△BCE，連接PE，作CH⊥BE于H，如圖，
∴EB=PB=1，EC=PA=

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，∠PBE=90°，
∴△PBE為等腰直角三角形，
∴PE=

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PB=

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，∠PEB=45°，
在△PEC中，∵PE=

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，EC=

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，PC=2，
∴PE²+EC²=PC²，
∴△PEC為直角三角形，∠PEC=90°，
∴∠BEC=135°，
∴∠CEH=45°，
∴△CEH為等腰直角三角形，
∴CH=EH=

2

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EC=1，
∴BH=BE+EH=2，
在Rt△BHC中，BC²=BH²+CH²=5，
∴正方形ABCD面積為5．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)．