Question

如圖，拋物線y=

1

4

x²+bx+c與x軸交于A（5，0）、B（-1，0）兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作直線AC⊥x軸，交直線y=2x于點(diǎn)C；
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求點(diǎn)A關(guān)于直線y=2x的對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)，判定點(diǎn)A′是否在拋物線上，并說(shuō)明理由；
（3）點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線，交線段CA′于點(diǎn)M，是否存在這樣的點(diǎn)P，使四邊形PACM是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,勾股定理,平行四邊形的判定,相似三角形的應(yīng)用

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）首先求出對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)，然后代入拋物線解析式，即可判定點(diǎn)A′是否在拋物線上．本問(wèn)關(guān)鍵在于求出A′的坐標(biāo)．如答圖所示，作輔助線，構(gòu)造一對(duì)相似三角形Rt△A′EA∽R(shí)t△OAC，利用相似關(guān)系、對(duì)稱性質(zhì)、勾股定理，求出對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)；
（3）本問(wèn)為存在型問(wèn)題．解題要點(diǎn)是利用平行四邊形的定義，列出代數(shù)關(guān)系式求解．如答圖所示，平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，因此PM=AC=10；利用含未知數(shù)的代數(shù)式表示出PM的長(zhǎng)度，然后列方程求解．

解答：解：（1）∵y=

1

4

x²+bx+c與x軸交于A（5，0）、B（-1，0）兩點(diǎn)，
∴

25 4 +5b+c=0 1 4 -b+c=0

，
解得

b=-1 c=- 5 4

．
∴拋物線的解析式為y=

1

4

x²-x-

5

4

．

（2）如答圖所示，過(guò)點(diǎn)A′作A′E⊥x軸于E，AA′與OC交于點(diǎn)D，
∵點(diǎn)C在直線y=2x上，
∴C（5，10）
∵點(diǎn)A和A′關(guān)于直線y=2x對(duì)稱，
∴OC⊥AA′，A′D=AD．
∵OA=5，AC=10，
∴OC=

OA2+AC2

=

52+102

=5

5

．
∵S_△OAC=

1

2

OC•AD=

1

2

OA•AC，
∴AD=2

5

．
∴AA′=4

5

，
在Rt△A′EA和Rt△OAC中，
∵∠A′AE+∠A′AC=90°，
∠ACD+∠A′AC=90°，
∴∠A′AE=∠ACD．
又∵∠A′EA=∠OAC=90°，
∴Rt△A′EA∽R(shí)t△OAC．
∴

A′E

OA

=

AE

AC

=

AA′

OC

，
即

A′E

5

=

AE

10

=

4 5

5 5

．
∴A′E=4，AE=8．
∴OE=AE-OA=3．
∴點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（-3，4），
當(dāng)x=-3時(shí)，
y=

1

4

×（-3）²+3-

5

4

=4．
所以，點(diǎn)A′在該拋物線上．

（3）存在．
理由：設(shè)直線CA′的解析式為y=kx+b，
則

5k+b=10 -3k+b=4

，
解得

k= 3 4 b= 25 4

∴直線CA′的解析式為y=

3

4

x+

25

4

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，

1

4

x²-x-

5

4

），則點(diǎn)M為（x，

3

4

x+

25

4

）．
∵PM∥AC，
∴要使四邊形PACM是平行四邊形，只需PM=AC．又點(diǎn)M在點(diǎn)P的上方，
∴（

3

4

x+

25

4

）-（

1

4

x²-x-

5

4

）=10．
解得x₁=2，x₂=5（不合題意，舍去）
當(dāng)x=2時(shí)，y=-

9

4

．
∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到（2，-

9

4

）時(shí)，四邊形PACM是平行四邊形．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)、待定系數(shù)法、相似、平行四邊形、勾股定理、對(duì)稱等知識(shí)點(diǎn)，涉及考點(diǎn)較多，有一定的難度．第（2）問(wèn)的要點(diǎn)是求對(duì)稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)，第（3）問(wèn)的要點(diǎn)是利用平行四邊形的定義列方程求解．