【題目】在平面直角坐標系中,點O為坐標原點,拋物線y=ax2﹣4ax﹣交x軸正半軸于點A(5,0),交y軸于點B.
(1)求拋物線的解析式;
(2)如圖1,點P為第一象限內(nèi)拋物線上一點,連接AP,將射線AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°,與過點P且垂直于AP的直線交于點C,設點P橫坐標為t,點C的橫坐標為m,求m與t之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出t的取值范圍);
(3)如圖2,在(2)的條件下,過點C作直線交x軸于點D,在x軸上取點F,連接FP,點E為AC的中點,連接ED,若F的橫坐標為-,∠AFP=∠CDE,且∠FAP+∠ACD=180°,求m的值.
【答案】(1)y=x2﹣x﹣(2)m=t2+t+3(3)-
【解析】
(1)把點A坐標代入即能求a的值.
(2)由AP⊥PC和旋轉(zhuǎn)60°得∠PAC=60°得到特殊Rt△APC.利用已知點P、C的橫坐標的條件,分別過點C、點P作坐標軸的垂線,構(gòu)造三垂直模型下的相似,且相似比即為PC與AP的比.用t、m表示相似三角形對應邊的長度,利用相似比為列方程,即得到m與t的關(guān)系式.
(3)由特殊Rt△APC中∠ACP=30°與點E為AC的中點的條件得到CE=AE=AP;構(gòu)造PQ=AP(Q在x軸上)得∠PAQ=∠PQA,再由∠FAP+∠ACD=180°和∠FAP鄰補角為∠PAN得到∠ACD=∠PAN,即得到∠ACD=∠PAQ=∠PQA,因此構(gòu)造的△QFP與△CDE全等,得到QF=CD.由四邊形APCD內(nèi)角和為360°可求得∠CDF=60°,作CH⊥x軸構(gòu)造特殊直角三角形,利用CH=MN即可以t的式子表示CH,進而用t表示CD.又易由t的式子表示QF,列方程即求得t的值.再代回(2)的式子即求出m的值.
(1)∵拋物線y=ax2﹣4ax﹣過點A(5,0),
∴25a﹣20a﹣=0,
解得:a=,
∴拋物線的解析式為;
(2)過點P作MN⊥x軸于點N,過點C作CM⊥MN于點M,
∴∠M=∠ANP=90°,
∴∠MCP+∠CPM=90°.
∵CP⊥AP,
∴∠APC=90°,
∴∠CPM+∠APN=90°,
∴∠MCP=∠APN,
∴△MCP∽△NPA,
∴,
∵∠APC=90°,∠PAC=60°,
∴∠ACP=30°,tan∠PAC=,
∴,即.
∵xP=t,xC=m,
∴MC=t﹣m,PN=yP=,
∴t﹣m=,
整理得:m=,
(3)過點C作CH⊥x軸于點H,在x軸上取點Q,連接PQ且使PQ=AQ,
∴∠CHD=90°,∠PAN=∠PQN,
∵∠ACP=30°,∠APC=90°,點E是AC中點,
∴AP=AC=CE=AE,
∴CE=PQ,
∵∠FAP+∠ACD=180°,∠FAP+∠PAN=180°,
∴∠ACD=∠PAN,
∴∠ACD=∠PQN,
在△CDE與△QFP中
,
∴△CDE≌△QFP(AAS),
∴CD=QF,
由(1)得,AN=t﹣5,PM=,PN=,
∴CH=MN=PM+PN==.
∵∠CDH=360°﹣∠CDP﹣∠APC﹣∠FAP=360°﹣(∠ACD+∠FAP)﹣∠ACP﹣∠APC=360°﹣180°﹣30°﹣90°=60°,
∴sin∠CDH=,
∴CD==,
∵F(﹣,0),
∴QF=AF+AQ=AF+2AN=5﹣(﹣)+2(t﹣5)=2t﹣,
∴,
解得:t1=﹣3,t2=7,
∵點P在第一象限,t>5,
∴t=7,
∴m=.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點,與y軸交于C.直線y=x+3經(jīng)過點A、C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)P是拋物線上一動點,過P作PM∥y軸交直線AC于點M,設點P的橫坐標為t.
①若以點C、O、M、P為頂點的四邊形是平行四邊形,求t的值.
②當射線MP,AC,MO中一條射線平分另外兩條射線的夾角時,直接寫出t的值.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,平面直角坐標系中,OB在x軸上,∠ABO=90°,點A的坐標為(1,2).將△AOB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°,點O的對應點C恰好落在雙曲線y=的一個分支上,過C點的直線y=﹣x+b與雙曲線的另一個交點為E,則△EOC的面積為_____.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校七年級10個班的300名學生即將參加學校舉行的研究旅行活動,學校提出以下4個活動主題:A.赤水丹霞地貌考察;B.平塘天文知識考察;C.山關(guān)紅色文化考察;D.海龍電土司文化考察,為了解學生喜歡的活動主題,學生會開展了一次調(diào)查研究,請將下面的過程補全
(1)收集數(shù)據(jù):學生會計劃調(diào)查學生喜歡的活動主題情況,下面抽樣調(diào)查的對象選擇合理的是______.(填序號)
①選擇七年級3班、4班、5班學生作為調(diào)查對象
②選擇學校旅游攝影社團的學生作為調(diào)查對象
③選擇各班學號為6的倍數(shù)的學生作為調(diào)查對象
(2)整理、描述數(shù)據(jù):通過調(diào)査后,學生會同學繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請把統(tǒng)計圖補充完整
某校七年級學生喜歡的活動主題條形統(tǒng)計圖某校七年級學生喜歡的活動主題扇形統(tǒng)計圖
(3)分析數(shù)據(jù)、推斷結(jié)論:請你根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果向?qū)W校推薦本次活動的主題,你的推薦是______(填A-D的字母代號),估算全年級大約有多少名學生喜歡這個主題活動
(4)若在5名學生會干部(3男2女)中,隨機選取2名同學擔任活動的組長和副組長,求抽出的兩名同學恰好是1男1女的概率.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】平面直角坐標系在代數(shù)和幾何之間架起了一座橋梁,實現(xiàn)了幾何方法與代數(shù)方法的結(jié)合,使數(shù)與形統(tǒng)一了起來,在平面直角坐標系中,已知點A(x1,y1)、B(x2,y2),則A、B兩點之間的距離可以表示為AB=,例如A(2,1)、B(﹣1,2),則A、B兩點之間的距離AB==;反之,代數(shù)式也可以看作平面直角坐標系中的點C(5,1)與點D(1,﹣2)之間的距離.
(1)已知點M(﹣7,6),N(1,0),則M、N兩點間的距離為 ;
(2)求代數(shù)式 的最小值;
(3)求代數(shù)式|| 取最大值時,x的取值.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(1)如圖(1),已知:在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直線m經(jīng)過點A,BD⊥直線m,CE⊥直線m,垂足分別為點D、E.證明:DE=BD+CE.
(2)如圖(2),將(1)中的條件改為:在△ABC中,AB=AC,D、A、E三點都在直線m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α,其中α為任意銳角或鈍角.請問結(jié)論DE=BD+CE是否成立?如成立,請你給出證明;若不成立,請說明理由.
(3)拓展與應用:如圖(3),D、E是D、A、E三點所在直線m上的兩動點(D、A、E三點互不重合),點F為∠BAC平分線上的一點,且△ABF和△ACF均為等邊三角形,連接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC,試判斷△DEF的形狀并說明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,點O是Rt△ABC斜邊AB上的一點,⊙O經(jīng)過點A與BC相切于點D,分別交AB,AC于E,F,OA=2cm,AC=3cm.
(1)求BE的長;
(2)求圖中陰影部分的面積.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=x+b與雙曲線y=(k為常數(shù),k≠0)在第一象限內(nèi)交于點A(1,2),且與x軸、y軸分別交于B,C兩點.
(1)求直線和雙曲線的解析式;
(2)點P在x軸上,且△BCP的面積等于2,求P點的坐標.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知菱形ABCD的面積為8,對角線AC長為4,M為BC的中點,若P為對角線AC上一動點,則PB與PM之和的最小值為( )
A. B. 2C. 2D. 4
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com