Question

【題目】如圖，AB是⊙O的一條弦，C是⊙O上一動點(diǎn)且∠ACB=45°，E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)，直線EF與⊙O交于點(diǎn)G，H．若⊙O的半徑為2，則GE+FH的最大值為 ．

Answer 1

【答案】4﹣
【解析】解：連接OA，OB，
∵∠ACB=45°，
∴∠AOB=90°．
∵OA=OB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB=2 ，
當(dāng)GH為⊙O的直徑時(shí)，GE+FH有最大值．
∵點(diǎn)E、F分別為AC、BC的中點(diǎn)，
∴EF= AB= ，
∴GE+FH=GH﹣EF=4﹣ ，
故答案為：4﹣ ．

接OA，OB，根據(jù)圓周角定理可得出∠AOB=90°，故△AOB是等腰直角三角形．由點(diǎn)E、F分別是AC、BC的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理得出EF= AB= 為定值，則GE+FH=GH﹣EF=GH﹣ ，所以當(dāng)GH取最大值時(shí)，GE+FH有最大值．而直徑是圓中最長的弦，故當(dāng)GH為⊙O的直徑時(shí)，GE+FH有最大值，問題得解．