Question

如圖，在平面直角坐標系中，四邊形CODF為直角梯形，DF∥OC，OC=3DF，點B、C在x軸上，且點B、C到坐標原點O的距離的比為1：3，點A、D在y軸上，且AD的長為4，若tan∠OCF=3，sin∠ABO=

2

5

（1）求A、B、C三點坐標．
（2）點E在直線CF上，點E的橫坐標為-2，在直線L：y=

4

3

x+4上存在某點P使直線PE與y軸相交所成的銳角等于∠ABO，求出點P坐標及直線PE的解析式．
（3）半徑為

8

5

的⊙M從原點出發(fā)，沿x軸負方向運動；半徑為

2

5

5

的⊙N從原點出發(fā)，沿y軸正方向運動，如果⊙M、⊙N同時出發(fā)且速度相同，當⊙M與直線y=

4

3

x+4相切時，試判斷⊙N與②中所求的直線的位置關系，并說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）過點F作FG⊥x軸于G，設點B到原點的距離為x，根據(jù)比例求出OC，再求出DF，再根據(jù)tan∠OCF=3表示出FG，根據(jù)∠ABO的正弦求出正切值，再求出OA，然后表示出AD，列方程求出x，再結合圖形寫出點A、B、C的坐標即可；
（2）先求出點F的坐標，再利用待定系數(shù)法求出直線CF的解析式，然后求出點E的坐標，過點E作EH⊥y軸于H，再分點P在EH的上方和下方兩種情況求出直線EP與y軸的交點，然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，然后聯(lián)立兩直線解析式求出點P的坐標即可；
（3）求出直線y=

4

3

x+4與x軸所成角的正弦，再根據(jù)直線與圓相切求出CM的長，然后求出OM，再根據(jù)⊙M、⊙N同時出發(fā) 且速度相同求出ON的長度確定出點N的坐標，然后求出點N到EP的距離，再根據(jù)圓與直線的位置關系解答．

解答：解：（1）如圖，過點F作FG⊥x軸于G，設點B到原點的距離為x，
∵點B、C到坐標原點O的距離的比為1：3，
∴OC=3x，
∵OC=3DF，
∴DF=x，
∴OG=DF=x，
∴CG=3x-x=2x，
∵tan∠OCF=3，
∴FG=3CG=3×2x=6x，
∵sin∠ABO=

2

5

，
∴tan∠ABO=2，
∴OA=2OB=2x，
∴AD=OD-OA=6x-2x=4，
解得x=1，
∴2x=2，3x=3，
點A（0，2），B（-1，0），C（-3，0）；

（2）∵FG=6×1=6，OG=x=1，
∴點F的坐標為（-1，6），
設直線CD的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴

-3k+b=0 -k+b=6

，
解得

k=3 b=9

，
∴直線CD的解析式為y=3x+9，
x=-2時，y=3×（-2）+9=3，
∴點E（-2，3），
過點E作EH⊥y軸于H，則點H（0，3），
則EH=OA=2，
∵直線PE與y軸相交所成的銳角等于∠ABO，
∴①點P在EH的上方時，直線PE與y軸的交點坐標為（0，4），
此時，設直線PE的解析式為y=kx+b，
則

-2k+b=3 b=4

，
解得

k= 1 2 b=4

，
∴直線EP的解析式為y=

1

2

x+4，
此時，（0，4）在直線y=

4

3

x+4上，
所以，點P的坐標為（0，4）；
②點P在EH的下方時，直線PE與y軸的交點坐標為（0，2），
此時，設直線PE的解析式為y=kx+b，
則

-2k+b=3 b=2

，
解得

k=- 1 2 b=2

，
∴直線EP的解析式為y=-

1

2

x+2，
聯(lián)立

y= 4 3 x+4 y=- 1 2 x+2

，
解得

x=- 12 11 y= 28 11

，
∴點P的坐標為（-

12

11

，

28

11

）；

（3）令x=0，則y=

4

3

×0+4=4，
由勾股定理得，

32+42

=5，
∴直線y=

4

3

x+4與x軸所成角的正弦為

4

5

，
∵⊙M與直線y=

4

3

x+4相切，
∴CM=

8

5

÷

4

5

=2，
∴CM=3-2=1，
∵⊙M、⊙N同時出發(fā)且速度相同，
∴ON=1，
∴點N到直線EP的解析式為y=-

1

2

x+2的距離為：（2-1）×

2

5

5

=

2

5

5

，
與⊙N相切，
點N到直線EP的解析式為y=

1

2

x+4的距離為：（4-1）×

2

5

5

=

6

5

5

＞

2

5

5

，
與⊙N相離．

點評：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了銳角三角三角函數(shù)，勾股定理，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，以及直線與圓的位置關系的判定，（2）難點在于要根據(jù)點P的位置分情況討論，（3）根據(jù)直線與圓相切求出OM，從而得到ON的長是解題的關鍵．