如圖,在直角梯形OABC中,OA∥CB,A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(15,0),B(10,12),動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從O、B兩點(diǎn)出發(fā),點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位的速度沿OA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng),點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度沿BC向C運(yùn)動(dòng),當(dāng)點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)Q也同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).線段OB、PQ相交于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作DE∥OA,交AB于點(diǎn)E,射線QE交x軸于點(diǎn)F.設(shè)動(dòng)點(diǎn)PQ運(yùn)精英家教網(wǎng)動(dòng)時(shí)間為t(單位:秒).
(1)當(dāng)t為何值時(shí),四邊形PABQ是等腰梯形,請(qǐng)寫(xiě)出推理過(guò)程;
(2)當(dāng)t=2秒時(shí),求梯形OFBC的面積;
(3)當(dāng)t為何值時(shí),△PQF是等腰三角形?請(qǐng)寫(xiě)出推理過(guò)程.
分析:(1)可通過(guò)構(gòu)建直角三角形來(lái)求解.過(guò)B作BG⊥OA于G,過(guò)Q作QH⊥OA于H.可根據(jù)勾股定理,求出AB的值,用t表示出QP,讓QP=AB,求出t的值;
(2)有了t的值,即可求出OP,CQ,QB的值,根據(jù)平行線段成比例,可以得出AF,進(jìn)而求出OF的值,這樣就可以求出梯形的面積;
(3)分三種情況進(jìn)行討論,讓△PQF的三邊兩兩相等,求出t的值.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)如圖,過(guò)B作BG⊥OA于G,
則AB=
BG2+GA2
=
122+(15-10)2
=
169
=13.
過(guò)Q作QH⊥OA于H,
則QP=
QH2+PH2
=
122+(10-t-2t)2
=
144+(10-3t)2

要使四邊形PABQ是等腰梯形,則AB=QP,
144+(10-3t)2
=13

∴t=
5
3
,或t=5(此時(shí)PABQ是平行四邊形,不合題意,舍去);
∴t=
5
3


(2)當(dāng)t=2時(shí),OP=4,CQ=10-2=8,QB=2.
∵CB∥DE∥OF,
QB
AF
=
QE
EF
=
QD
DP
=
QB
OP
=
2
4
=
1
2

∴AF=2QB=2×2=4.
∴OF=15+4=19.
∴S梯形OFBC=
1
2
(10+19)×12=174.

(3)①當(dāng)QP=PF時(shí),則
122+(10-t-2t)2
=15+2t-2t,
∴t=
1
3
或t=
19
3

②當(dāng)QP=QF時(shí),則
122+(10-t-2t)2
=
122+FH2
=
122+[15+2t-(10-t)]2
,
122+(10-3t)2
=
122+(5+3t)2
,
∴t=
5
6

③當(dāng)QF=PF時(shí),則
122+(5+3t)2
=15,
∴t=
4
3
或t=-
14
3

綜上,當(dāng)t=
1
3
,t=
19
3
,t=
5
6
,t=
4
3
時(shí),△PQF是等腰三角形.
點(diǎn)評(píng):①本題綜合考查了勾股定理的應(yīng)用,等腰梯形的判定,等腰三角形的判定和平行線分線段成比例等的知識(shí)點(diǎn);
②由于知識(shí)點(diǎn)較多,有一定難度;
③要注意的是(3)中要分三種情況進(jìn)行討論,不可丟掉任何一種.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在直角梯形COAB中,CB∥OA,以O(shè)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,A、C的坐標(biāo)分別為A精英家教網(wǎng)(10,0)、C(0,8),CB=4,D為OA中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P自A點(diǎn)出發(fā)沿A→B→C→O的線路移動(dòng),速度為1個(gè)單位/秒,移動(dòng)時(shí)間為t秒.
(1)求AB的長(zhǎng),并求當(dāng)PD將梯形COAB的周長(zhǎng)平分時(shí)t的值,并指出此時(shí)點(diǎn)P在哪條邊上;
(2)動(dòng)點(diǎn)P在從A到B的移動(dòng)過(guò)程中,設(shè)△APD的面積為S,試寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式,并指出t的取值范圍;
(3)幾秒后線段PD將梯形COAB的面積分成1:3的兩部分?求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)?

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在直角梯形OABC中,OA、OC邊所在直線與x、y軸重合,BC∥OA,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(6.4,4.8),對(duì)角線OB⊥OA.在線段OA、AB上有動(dòng)點(diǎn)E、D,點(diǎn)E以每秒2厘米的速度在線段OA上從點(diǎn)O向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)D以每秒1厘米的速度在線段AB上從點(diǎn)A向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng).當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)A時(shí),點(diǎn)D同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒),
(1)求線段AB所在直線的解析式;
(2)設(shè)四邊形OEDB的面積為y,求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,并寫(xiě)出自變量的t的取值范圍;
(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,存不存在某個(gè)時(shí)刻,使得以A、E、D為頂點(diǎn)的三角形與△ABO相似,若存在求出這個(gè)時(shí)刻t,若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•湛江模擬)已知,如圖,在直角梯形COAB中,CB∥OA,以O(shè)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,A、B、C的坐標(biāo)分別為A(10,0)、B(4,8)、C(0,8),D為OA的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P自A點(diǎn)出發(fā)沿A→B→C→O的路線移動(dòng),速度為每秒1個(gè)單位,移動(dòng)時(shí)間記為t秒.
(1)求過(guò)點(diǎn)O、B、A三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(2)求AB的長(zhǎng);若動(dòng)點(diǎn)P在從A到B的移動(dòng)過(guò)程中,設(shè)△APD的面積為S,寫(xiě)出S與t的函數(shù)關(guān)系式,并指出自變量t的取值范圍;
(3)動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā),幾秒鐘后線段PD將梯形COAB的面積分成1:3兩部分?求出此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥x軸于點(diǎn)C,A(1,2),C(3,0).動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā),沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度移動(dòng).過(guò)P點(diǎn)作PQ⊥直線OA,垂足為Q.設(shè)P點(diǎn)移動(dòng)的時(shí)間為t秒(0<t≤7),△OPQ與直角梯形OABC重疊部分的面積為S.
(1)寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo):
(3,2)
(3,2)

(2)當(dāng)t=7時(shí),求直線PQ的解析式,并判斷點(diǎn)B是否在直線PQ上;
(3)求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;
(4)連接AC.是否存在t,使得PQ分△ABC的面積為1:3?若存在,直接寫(xiě)出t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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