Question

如圖，P是函數(shù)y=

1

2x

（x＞0）圖象上一點(diǎn)，直線y=-x+1交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，PM⊥Ox軸于M，交AB于E，PN⊥Oy軸于N，交AB于F．則四邊形OMPN的面積為

 

，AF•BE的值

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

專題：

分析：根據(jù)過雙曲線上任意一點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的矩形面積S是個(gè)定值k|即可求得四邊形OMPN的面積；由于P的坐標(biāo)為（a，

1

2a

），且PN⊥OB，PM⊥OA，那么N的坐標(biāo)和M點(diǎn)的坐標(biāo)都可以a表示，那么BN、NF的長度也可以用a表示，接著F點(diǎn)、E點(diǎn)的坐標(biāo)也可以a表示，然后利用勾股定理可以分別用a表示AF，BE，最后即可求出AF•BE．

解答：解：由反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可得：S=|k|=

1

2

，
則四邊形OMPN的面積=

1

2

．
∵P是函數(shù)y=

1

2x

（x＞0）圖象上一點(diǎn)，
∴P的坐標(biāo)為（a，

1

2a

），且PN⊥OB，PM⊥OA，
∴N的坐標(biāo)為（0，

1

2a

），M點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，0），
∴BN=1-

1

2a

，
∵直線y=-x+1交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，
∴A（1，0），B（0，1），
∴OA=OB，
∴∠OAB=OBA=45°，
∴在直角三角形BNF中，∠NBF=45°，
∴NF=BN=1-

1

2a

，
∴F點(diǎn)的坐標(biāo)為（1-

1

2a

，

1

2a

），
同理可得出E點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，1-a），
∴AF²=（-

1

2a

）²+（

1

2a

）²=

1

2a2

，BE²=（a）²+（-a）²=2a²，
∴AF²•BE²=

1

2a2

•2a²=1，即AF•BE=1．
故答案為：

1

2

，1．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)的交點(diǎn)的問題，過雙曲線上任意一點(diǎn)與原點(diǎn)所連的線段、坐標(biāo)軸、向坐標(biāo)軸作垂線所圍成的矩形面積S是個(gè)定值k|；解題關(guān)鍵是通過反比例函數(shù)上的點(diǎn)P來確定E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而通過坐標(biāo)系中兩點(diǎn)的距離公式得出所求的值．