Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，D在邊AC上，且BD=DA=BC．

（1）如圖1，填空：∠A=_______．

（2）如圖2，若M為線段AC上的點(diǎn)，過M作直線MH⊥BD于H，分別交直線AB、BC于點(diǎn)N、E．

①求證：△BNE是等腰三角形；

②試寫出線段AN、CE、CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）36°；（2）①證明見解析；②AN+CE=CD，理由見解析．

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠A=∠DBA=∠DBC=∠ABC=∠C，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論；
（2）①根據(jù)已知條件得到∠ABD=∠CBD=36°，根據(jù)垂直的定義得到∠BHN=∠EHB=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
②由①知，BN=BE，根據(jù)線段的和差和等量代換即可得到結(jié)論．

解：（1）∵BD=BC，
∴∠BDC=∠C，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∴∠A=∠DBC，
∵AD=BD，
∴∠A=∠DBA，
∴∠A=∠DBA=∠DBC=∠ABC=∠C，
∵∠A+∠ABC+∠C=5∠A=180°，
∴∠A=36°，∠C=72°；
故答案為：36°；

（2）①∵BD=AD，

∴∠A=∠ABD

∵∠BDC=∠A+∠ABD，

∴∠BDC=2∠ABD

∵BD=BC，

∴∠BCD=2∠ABD

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=2∠ABD，

∴∠ABD=∠CBD

∵M(jìn)H⊥BD于H，

∴NHBEHB

在△NBH與△EBH中

∴△NHB≌△EBH（ASA），

∴BN=BE，

∴△BNE為等腰三角形；

②AN+CE=CD

∵AB=AC

∴AN+BN=AD+DC

∵BN=BE，

∴AN+BE=AD+DC，

∴AN+BC+CE=AD+DC

∵BC=AD，

∴AN+CE=CD.