Question

△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，P是

BC

上一點．探索PA與PB+PC之間的數(shù)量關系，并說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),圓周角定理

專題：

分析：作出圖形，根據(jù)同弧所對的圓周角相等可得∠BAE=∠BCP，∠APB=∠ACB=60°，在PA上截取PE=BP，判斷出△PBE是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BE=PE=PB，再求出∠AEB=∠CPB=120°，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得AB=BC，然后利用“角角邊”證明△ABE和△CBP全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AE=PC，再根據(jù)PA=AE+PE等量代換即可得證．

解答：解：PA=PB+PC．
理由如下：如圖，由圓周角定理得，∠BAE=∠BCP，∠APB=∠ACB=60°，
在PA上截取PE=BP，則△PBE是等邊三角形，
所以BE=PE=PB，
∵∠AEB=180°-60°=120°，
∠CPB=120°，
∴∠AEB=∠CPB=120°，
∵△ABC是正三角形，
∴AB=BC，
在△ABE和△CBP中，

∠BAE=∠BCP ∠AEB=∠CPB AB=AC

，
∴△ABE≌△CBP（AAS），
∴AE=PC，
∵PA=AE+PE，
∴PA=PB+PC．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，圓周角定理，作輔助線構造出等邊三角形和全等三角形是解題的關鍵，作出圖形更形象直觀．