Question

如圖，把矩形ABCD沿EF折疊，使C與A重合，且AB=4，AD=8．
（1）求證：AE=AF；
（2）求四邊形AEFD′的面積；
（3）如果把矩形ABCD放置在平面直角坐標(biāo)系中，B為坐標(biāo)原點，BC在x軸下半軸上，AB在y軸正半軸上，如圖所示，求點D′的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）,坐標(biāo)與圖形性質(zhì),矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)就可以得出∠AFE=∠AEF，就可以得出AE=AF．
（2）設(shè)AE為x，由勾股定理就可以求出x的值就可以由梯形的面積公式求出結(jié)論；
（3）作D′G⊥AF，根據(jù)三角形的面積公式可以求出D′G的值，再由勾股定理就可以求出AG的值就可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，AD∥BC，
∴∠AFE=∠CEF．
∵四邊形ACFD′和四邊形CEFD關(guān)于EF對稱，
∴四邊形ACFD′≌四邊形CEFD，
∴∠AEF=∠CEF，AE=CE，DF=D′F，AD′=CD，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AE=AF；
（2）設(shè)AE為x，則BE=8-x，在Rt△ABE中，由勾股定理，得
x²=（8-x）²+16，
解得：x=5．
∴BE=3，
∴CE=AF=5，
∴FD=3．D′F=3，
∴S_{四邊形CEFD}=

4(3+5)

2

=16．
∵四邊形ACFD′≌四邊形CEFD，
∴S_{四邊形ACFD′}=S_{四邊形CEFD}，
∴S_{四邊形AEFD′}=16；
（3）作D′G⊥AF，
∵

AD′•D′F

2

=

AF•GD′

2

，
∴

3×4

2

=

5GD′

2

，
∴GD′=

12

5

．
在Rt△AGD′，由勾股定理，得
AG=

16

5

，
∴D′（

16

5

，

32

5

）．

點評：本題考查了矩形的性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，軸對稱的性質(zhì)的運用，三角形的面積公式的運用，梯形的面積的運用，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)的運用，解答時運用軸對稱的性質(zhì)求解是關(guān)鍵．