Question

已知關于x的一元二次方程x²+（6-2m）x=-m²+4m-3有實數根．
（1）求m的取值范圍；
（2）設方程的兩實根分別為x₁與x₂，是否存在實數m，使得2x₁²+2x₂²-3x₁•x₂有最小值？若存在，求出m的值和這個最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：根的判別式,根與系數的關系,二次函數的最值

專題：

分析：（1）先把方程化為一般式得到x²+（6-2m）x+m²-4m+3=0，再根據判別式的意義得到△=（6-2m）²-4（m²-4m+3）≥0，然后解不等式得到m≤3；
（2）根據根與系數的關系得到x₁+x₂=2m-6，x₁•x₂=m²-4m+3，再變形2x₁²+2x₂²-3x₁•x₂得到2（x₁+x₂）²-7x₁•x₂，則原式=2（2m-6）²-7（m²-4m+3）
=m²-20m+51，然后配方得到原式=（m-10）²-49，最后根據二次函數的最最值問題求解．

解答：解：（1）x²+（6-2m）x+m²-4m+3=0，
根據題意得△=（6-2m）²-4（m²-4m+3）≥0，
解得m≤3；
（2）根據題意得為x₁+x₂=2m-6，x₁•x₂=m²-4m+3，
所以2x₁²+2x₂²-3x₁•x₂=2（x₁+x₂）²-7x₁•x₂
=2（2m-6）²-7（m²-4m+3）
=m²-20m+51
=（m-10）²-49，
∵m≤3，
∴當m=3時，2x₁²+2x₂²-3x₁•x₂有最小值，最小值為0．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判別式△=b²-4ac：當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．也考查了一元二次方程的根與系數的關系和二次函數的最值問題．