Question

（本題滿分10分）如圖，△ABC中，AB=AC=，cosC=．

（1）動手操作：利用尺規(guī)作以AC為直徑的⊙O，并標出⊙O與AB的交點D，與BC的交點E（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）綜合應用：在你所作的圖中，

①求證：； ②求點D到BC的距離．

 

Answer 1

（1）作圖見試題解析；（2）①證明見試題解析；②．

【解析】

試題分析：（1）先作出AC的中垂線，再畫圓；

（2）邊接AE，AE是BC的中垂線，∠DAE=∠CAE，得出；

（3）利用△BDE∽△BCA求出BD，再利用余弦求出BM，用勾股定理求出DM．

試題解析：（1）如圖，

（2）如圖，連接AE，

∵AC為直徑，∴∠AEC=90°，

∵AB=AC，∴∠DAE=∠CAE，∴；

（3）如圖，連接AE，DE，作DM⊥BC交BC于點M，

∵AC為直徑，∴∠AEC=90°，

∵AB=AC=，cosC=，∴EC=BE=4，∴BC=8，

∵點A、D、E、C共圓，∴∠ADE+∠C=180°，

又∵∠ADE+∠BDE=180°，∴∠BDE=∠C，∴△BDE∽△BCA，

∴，即BD•BA=BE•BC，∴BD×=4×8，∴BD=，

∵∠B=∠C，∴cos∠C=cos∠B=，∴，∴BM=，

∴DM==．

考點：1．作圖—復雜作圖；2．勾股定理的應用；3．相似三角形的應用．