Question

如圖，在一張長方形紙片ABCD中，AB=3

3

，AD=m，邊AB的中垂線分別交于AB、CD于點E、F；在邊BC上取一點H（即AH為折痕），使得△ABH沿AH折疊后點B恰好落在線段EF上，設為點G．
（1）按上述描述畫出圖形（要求尺規(guī)作圖，不寫作法，保留畫圖痕跡）；
（2）求證：△ABG是等邊三角形；
（3）若要使圖形折疊后點A、G、C在一直線上，試求m的值．

Answer 1

考點：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）先根據基本作圖的方法作出線段AB的垂直平分線EF，在EF上取一點G，使AG=AB，連結GH，則△AGH與△ABH關于AH成軸對稱；
（2）連接GB，由中垂線的性質就可以得出AG=BG，由軸對稱的性質就可以得出AG=AB而得出結論；
（3）由（2）的結論就可以得出∠CAB=60°，由勾股定理就可以求出BC的值，得出結論．

解答：解：（1）由題意作出圖形，如圖1．

（2）如圖2，連接GB，
∵EF垂直平分AB，點G在EF上，
∴AG=GB．
∵△AGH與△ABH關于AH對稱，
∴△AGH≌△ABH，
∴AG=AB，
∴AG=AB=GB，
∴△ABG是等邊三角形；
（3）如圖2，
∵△ABG是等邊三角形，
∴∠CAB=60°．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°．AD=BC=m，
∴∠ACB=30°，
∴AC=2AB．
∵AB=3

3

，
∴AC=6

3

．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
BC=9，
∴m=9．

點評：本題考查了矩形的性質的運用，尺規(guī)作圖的運用，垂直平分線的性質的運用，等邊三角形的判定及性質的運用，軸對稱的性質的運用，勾股定理的性質的運用，解答時證明三角形ABG是等邊三角形是關鍵．