Question

如圖，長方形OABC在平面直角坐標(biāo)系xOy的第一象限內(nèi)，點A在x軸正半軸上，點C在y軸的正半軸上，點D、E分別是OC、BC的中點，∠CDE=30°，點E的坐標(biāo)為（2，a）．
（1）求a的值及直線DE的表達式；
（2）現(xiàn)將長方形OABC沿DE折疊，使頂點C落在平面內(nèi)的點C′處，過點C′作y軸的平行線分別交x軸和BC于點F，G
①求C′的坐標(biāo)；
②若點P為直線DE上一動點，連接PC′，當(dāng)△PC′D為等腰三角形是，求點P的坐標(biāo)．
【說明：在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半】

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）運用特殊直角三角形先求出CE，CD的值，由中點定義可求出a的值，再設(shè)出直線DE的表達式求解即可；
（2）①運用折疊的特性即可求出C′的坐標(biāo)；
②分四種情況討論ⅠDP=PC′，ⅡDP=DC′時，Ⅲ當(dāng)DC′=PC′時，Ⅳ當(dāng)DP=DC′時分別求解即可．

解答：解：（1）∠CDE=30°，點E的坐標(biāo)為（2，a）．
∴CE=2，CD=2

3

，
∵點D、E分別是OC、BC的中點，
∴OC=2CD=4

3

，
∴a=4

3

設(shè)直線DE的表達式為y=kx+b，把D（0，2

3

），E（2，4

3

）代入得，y=

3

x+2

3

，
（2）①∵將長方形OABC沿DE折疊，使頂點C落在平面內(nèi)的點C′處，過點C′作y軸的平行線分別交x軸和BC于點F，G
∴∠CED=∠C′ED=60°，C′E=CE=2，
∴EG=1，C′G=

3

，
∴CG=CE+EG=2+1=3，C′F=OC-C′G=4

3

-

3

=3

3

，
∴C′（3，3

3

），
②Ⅰ如圖1，

點P為DE的中點連接C′P，
∵△DC′E是直角三角形，
∴DP=PC′，
∴△PC′D為等腰三角形，
∴P（1，3

3

），
Ⅱ如圖2，DP=DC′時，

∵DC′=DC=2

3

，
∴DP=2

3

，
∴P（

3

，3+2

3

），
Ⅲ如圖3，當(dāng)DC′=PC′時，

∵DC′=PC′=2

3

，且P點為C′G的延長線與DE的交點，
∴P（3，5

3

）．
Ⅳ如圖4，當(dāng)DP=DC′時，

∵DC′=DC=2

3

，
∴DP=2

3

，
∴P（-

3

，2

3

-3），
綜上所述：當(dāng)△PC′D為等腰三角形時，點P的坐標(biāo)為（1，3

3

），（

3

，3+2

3

），（3，5

3

）或
（-

3

，2

3

-3）．

點評：本題主要考查了一次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，分類討論．