Question

如圖①，OM是∠AOC的平分線，ON是∠BOC的平分線，已知∠AOB=90°，∠BOC=30°，
（1）求∠MON的大��；
（2）若∠AOB=α，其它條件不變情況下，求∠MON的大��；
（3）若∠BOC=β，其它條件不變情況下，求∠MON的大��；
（4）由（1）、（2）、（3）可知，得出什么結(jié)論；                          
（5）線段的計(jì)算與角的計(jì)算存在著緊密的聯(lián)系，它們之間可以互相借鑒方法．小明大膽猜想，如圖②，設(shè)線段AB=a．延長AB到C，使BC=b，點(diǎn)M和N分別為AC和BC的中點(diǎn)，則MN的長為

a

2

，而與BC的長度變化無關(guān)，請(qǐng)你證明小明發(fā)現(xiàn)的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：角的計(jì)算,角平分線的定義

專題：

分析：（1）先計(jì)算出∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+30°=120°，再根據(jù)角平分線的定義得到∠COM=

1

2

∠AOC=

1

2

×120°=60°，∠CON=

1

2

∠BOC=

1

2

×
30°=15°，然后利用∠MON=∠COM-∠CON進(jìn)行計(jì)算；
（2）先計(jì)算出∠AOC=∠AOB+∠BOC=a°+30°，再根據(jù)角平分線的定義得到∠COM=

1

2

∠AOC=

1

2

（a°+30°），∠CON=

1

2

∠BOC=

1

2

×30°=15°，然后利用∠MON=∠COM-∠CON進(jìn)行計(jì)算；
（3）先得到∠AOC=90°+β，再根據(jù)角平分線的定義得到∠COM=

1

2

∠AOC=

1

2

（90°+β），∠CON=

1

2

∠BOC=

1

2

β，然后利用∠MON=∠COM-∠CON進(jìn)行計(jì)算；
（4）利用前面計(jì)算的結(jié)論得到∠MON=

1

2

∠AOB．

解答：解：（1）因?yàn)椤螦OB=90°，∠BOC=30°，
所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+30°=120°．
又OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
所以∠COM=

1

2

∠AOC=

1

2

×120°=60°，
∠CON=

1

2

∠BOC=

1

2

×30°=15°．
所以∠MON=∠COM-∠CON=60°-15°=45°；
（2）因?yàn)椤螦OB=a°，∠BOC=30°，
所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=a°+30°．
又OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
所以∠COM=

1

2

∠AOC=

1

2

（a°+30°），
∠CON=

1

2

∠BOC=

1

2

×30°=15°．
所以∠MON=∠COM-∠CON=

1

2

（a°+30°）-15°=

1

2

a°．
（3）因?yàn)椤螦OB=90°，∠BOC=β，所以∠AOC=90°+β，
又OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
所以∠COM=

1

2

∠AOC=

1

2

（90°+β），∠CON=

1

2

∠BOC=

1

2

β．
所以∠MON=∠COM-∠CON=

1

2

（90°+β）-

1

2

β=45°．
（4）從（1）（2）（3）的結(jié)果中可以看出∠MON=

1

2

∠AOB，而與∠BOC的大小無關(guān)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了角的計(jì)算：利用幾何圖形計(jì)算幾個(gè)角的和或差．也考查了角平分線的定義．