【題目】有一個n位自然數(shù)能被x0整除,依次輪換個位數(shù)字得到的新數(shù)能被x0+1整除,再依次輪換個位數(shù)字得到的新數(shù)能被x0+2整除,按此規(guī)律輪換后, 能被x0+3整除,…,能被x0+n﹣1整除,則稱這個n位數(shù)是x0的一個“輪換數(shù)”.

例如:60能被5整除,06能被6整除,則稱兩位數(shù)60是5的一個“輪換數(shù)”;

再如:324能被2整除,243能被3整除,432能被4整除,則稱三位數(shù)324是2個一個“輪換數(shù)”.

(1)若一個兩位自然數(shù)的個位數(shù)字是十位數(shù)字的2倍,求證這個兩位自然數(shù)一定是“輪換數(shù)”.

(2)若三位自然數(shù)是3的一個“輪換數(shù)”,其中a=2,求這個三位自然數(shù)

【答案】(1)見解析;(2) 201,207,255

【解析】

試題(1)先設(shè)出兩位自然數(shù)的十位數(shù)字,表示出這個兩位自然數(shù),和輪換兩位自然數(shù)即可;
(2)先表示出三位自然數(shù)和輪換三位自然數(shù),再根據(jù)能被5整除,得出b的可能值,進(jìn)而用4整除,得出c的可能值,最后用能被3整除即可.

試題解析:

1)設(shè)兩位自然數(shù)的十位數(shù)字為x,則個位數(shù)字為2x,

∴這個兩位自然數(shù)是10x+2x=12x,

∴這個兩位自然數(shù)是12x能被6整除,

∵依次輪換個位數(shù)字得到的兩位自然數(shù)為10×2x+x=21x

∴輪換個位數(shù)字得到的兩位自然數(shù)為21x能被7整除,

∴一個兩位自然數(shù)的個位數(shù)字是十位數(shù)字的2倍,這個兩位自然數(shù)一定是輪換數(shù)”.

(2)∵三位自然數(shù)3的一個輪換數(shù),且a=2,

100a+10b+c能被3整除,

即:10b+c+200能被3整除,

第一次輪換得到的三位自然數(shù)是100b+10c+a能被4整除,

100b+10c+2能被4整除,

第二次輪換得到的三位自然數(shù)是100c+10a+b能被5整除,

100c+b+20能被5整除,

100c+b+20能被5整除,

b+20的個位數(shù)字不是0,便是5,

b=0b=5,

當(dāng)b=0時,

100b+10c+2能被4整除,

10c+2能被4整除,

c只能是1,3,5,7,9;

∴這個三位自然數(shù)可能是為201,203,205,207,209,

203,205,209不能被3整除,

∴這個三位自然數(shù)為201,207,

當(dāng)b=5時,∵100b+10c+2能被4整除,

10c+502能被4整除,

c只能是1,5,7,9;

∴這個三位自然數(shù)可能是為251,255,257,259,

251,257,259不能被3整除,

∴這個三位自然數(shù)為255,

即這個三位自然數(shù)為201,207,255.

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