Question

如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過三點A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），它的頂點為M，且正比例函數(shù)y=kx的圖象與二次函數(shù)的圖象相交于D、E兩點．
（1）求該二次函數(shù)的解析式和頂點M的坐標；
（2）若點E的坐標是（2，-3），且二次函數(shù)的值小于正比例函數(shù)的值時，試根據(jù)函數(shù)圖象求出符合條件的自變量x的取值范圍；
（3）試探究：拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PAC為等腰三角形？如果存在，請直接寫出點P的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設二次函數(shù)的解析式為y=a（x+1）（x-3），把（0，-3）代入即可求出a的值，即得到二次函數(shù)的解析式，把它化成頂點式即可求出頂點坐標；
（2）把E（2，-3）代入y=kx即可求出正比例函數(shù)的解析式，解由二次函數(shù)的解析式和正比例函數(shù)的解析式組成的方程組即可求出交點D的坐標，根據(jù)圖象即可求出答案；
（3）分PA=PC、PA=AC、PC=AC三種情況，設出P的坐標，根據(jù)勾股定理即可求出PA、PC、AC，進一步求出P的坐標寫上即可．

解答：解：（1）設二次函數(shù)的解析式為y=a（x+1）（x-3），
把（0，-3）代入得：a=1，
∴二次函數(shù)的解析式為y=（x+1）（x-3），
即：y=x²-2x-3，
配方得：y=（x-1）²-4，
∴頂點M的坐標是（1，-4），
答：該二次函數(shù)的解析式是y=x²-2x-3，頂點M的坐標是（1，-4）．

（2）解：把E（2，-3）代入y=kx得：k=-

3

2

，
∴正比例函數(shù)的解析式為y=-

3

2

x，
∵把正比例函數(shù)與二次函數(shù)的解析式組成方程組

y=- 3 2 x y=x2-2x-3

，
-

3

2

x=x²-2x-3，
即2x²-x-6=0，
（2x+3）（x-2）=0，
x₁=-

3

2

，x₂=2，
當x₁=-

3

2

時，y₁=-

3

2

×（-

3

2

）=

9

4

，
當x₂=2時，y₂=-

3

2

×2=-3，
∴

x1=- 3 2 y1= 9 4

，

x2=2 y2=-3

，
所以D(-

3

2

，

9

4

)，E（2，-3），
由圖可知：當-

3

2

＜x＜2時，二次函數(shù)的值小于正比例函數(shù)的值，
答：根據(jù)函數(shù)圖象求出符合條件的自變量x的取值范圍是-

3

2

＜x＜2．

（3）如圖，存在四個這樣的點P，
即：以A為圓心，AC為半徑畫弧，交直線x=1于P1(1，

6

)，P2(1，-

6

)兩點，
以C為圓心，AC為半徑畫弧，交直線x=1于點P₃（1，0），
作線段AC的垂直平分線，交直線于點P₄（1，-1），
答：存在．點P的坐標是（1，

6

）或（1，-

6

）或（1，0）或（1，-1）．

點評：本題主要考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式，勾股定理，解二元一次方程組，等腰三角形的性質(zhì)等知識點，求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式和交點坐標是解此題的關(guān)鍵，此題題型較好，綜合性比較強．用的數(shù)學思想是分類討論的思想．