Question

4．在?ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于點E，過點B作BO⊥AE，垂足為點O，交AD邊于點F，連接EF．
（1）如圖1，求證：四邊形ABEF是菱形；
（2）如圖2，若∠ABC=90°，AB=$\sqrt{2}$FD，連接OC、OD，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中所有的等腰三角形（不包括以BE或AB為一邊的三角形）．

Answer 1

分析 （1）先證明△ABE是等腰三角形，再證明△ABF是等腰三角形，由此即可解決問題．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵∠EAF=∠EAB，
∴∠BAE=∠BEA，
∴BA=BE，
∵BF⊥AE，
∴∠ABF=∠FBE，∠AFB=∠FBE，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF，
∴AF=BE，∵AF∥BE，
∴四邊形ABEF是平行四邊形，
∵AB=AF，
∴四邊形ABEF是菱形．

（2）圖2中的等腰三角形有△AOF，△EOF，△AEF，△OFD，△OEC，△ODC．

點評 本題考查平行四邊形的性質、菱形的性質、正方形的判定和性質、等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是靈活應用這些知識解決問題，屬于中考常考題型．