Question

【題目】如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0）和B（3，0）兩點，與y軸交于點C，對稱軸與x軸交于點E，點D為頂點，連接BD、CD、BC．

（1）求二次函數(shù)解析式及頂點坐標；
（2）點P為線段BD上一點，若S△BCP= ，求點P的坐標；
（3）點M為拋物線上一點，作MN⊥CD，交直線CD于點N，若∠CMN=∠BDE，請直接寫出所有符合條件的點M的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：把A（﹣1，0）和B（3，0）兩點代入拋物線y=x2+bx+c中得：

，解得： ，

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴D（1，﹣4）

（2）解：C（0，﹣3），由勾股定理得：BC2=32+32=18，

CD2=12+（4﹣3）2=2，

BD2=（3﹣1）2+42=20，

∴CD2+BC2=BD2，

即∠BCD=90°，

∴△BCD是直角三角形；

∴S△BCD=3

由S△BCP= ，

∴P為BD中點．

∴P（2，﹣2）

（3）解：∵∠CMN=∠BDE，

∴tan∠BDE=tan∠CMN= = ，

∴ = ，

同理得：CD的解析式為：y=﹣x﹣3，

設N（a，﹣a﹣3），M（x，x2﹣2x﹣3），

①如圖2，過N作GF∥y軸，過M作MG⊥GF于G，過C作CF⊥GF于F，

則△MGN∽△NFC，

∴ =2，

∴ = =2，

則 ，

∴x1=0（舍），x2=5，

當x=5時，x2﹣2x﹣3=12，

∴M（5，12），

②如圖3，過N作FG∥x軸，交y軸于F，過M作MG⊥GF于G，

∴△CFN∽△NGM，

∴ = ，

∴ = = ，則

∴x1=0（舍），x2= ，

當x= 時，y=x2﹣2x﹣3=﹣ ，

∴M（ ，﹣ ），

綜上所述，點M的坐標（5，12）或（ ，﹣ ）．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法即可得出結論，進而配成頂點式，得出頂點坐標；
（2）先利用勾股定理逆定理判斷出△BCD是直角三角形，進而判斷出點P是BD的中點，即可得出結論；
（3）先求出CD的解析式，再分點N在線段CD上和CD的延長線上，構造相似三角形即可得出結論。
【考點精析】本題主要考查了確定一次函數(shù)的表達式和勾股定理的逆定理的相關知識點，需要掌握確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法；如果三角形的三邊長a、b、c有下面關系：a2+b2=c2，那么這個三角形是直角三角形才能正確解答此題．