Question

【題目】如圖，在等邊三角形ABC的外側(cè)作直線AP，點(diǎn)C關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，連接AD，BD，其中BD交直線AP于點(diǎn)E.

（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）若∠PAC＝20°，求∠AEB的度數(shù)；

（3）連結(jié)CE，寫出AE, BE, CE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）60°；（3）CE ＋AE＝BE，理由見解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意補(bǔ)全圖形即可；（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得AC＝AD，∠PAC＝∠PAD=20°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC＝AB，∠BAC＝60°，即可得AB＝AD，在△ABD 中，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理求得∠D的度數(shù)，再由三角形外角的性質(zhì)即可求得∠AEB的度數(shù)；（3）CE ＋AE＝BE，如圖，在BE上取點(diǎn)M使ME＝AE，連接AM，設(shè)∠EAC＝∠DAE＝x，類比（2）的方法求得∠AEB＝60°，從而得到△AME為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和SAS即可判定△AEC≌△AMB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得CE＝BM，由此即可證得CE ＋AE＝BE．

試題解析：

(1)如圖：

（2）在等邊△ABC中，

AC＝AB，∠BAC＝60°

由對(duì)稱可知：AC＝AD，∠PAC＝∠PAD，

∴AB＝AD

∴∠ABD＝∠D

∵∠PAC＝20°

∴∠PAD＝20°

∴∠BAD＝∠BAC+∠PAC +∠PAD =100°

.

∴∠AEB＝∠D+∠PAD＝60°

（3）CE ＋AE＝BE．

在BE上取點(diǎn)M使ME＝AE，連接AM，

在等邊△ABC中，

AC＝AB，∠BAC＝60°

由對(duì)稱可知：AC＝AD，∠EAC＝∠EAD，

設(shè)∠EAC＝∠DAE＝x．

∵AD ＝AC＝AB，

∴

∴∠AEB＝60－x＋x ＝60°．

∴△AME為等邊三角形．

∴AM=AE，∠MAE=60°，

∴∠BAC=∠MAE=60°，

即可得∠BAM=∠CAE.

在△AMB和△AEC中，

，

∴△AMB≌△AEC.

∴CE＝BM.

∴CE ＋AE＝BE．