Question

如圖，在△ABC中，∠A=60°，AB=18，AC=12，點P從點B出發(fā)，以3cm/s的速度向點A運動，點Q從點A同時出發(fā)以2cm/s的速度向點C運動，其中一個動點到達(dá)端點時，另一個動點也隨之停止運動．
（1）求S_△ABC；
（2）在點P與點Q的運動過程中，△APQ是否能成為等邊三角形？若能，請求出時間t，若不能，請說明理由；
（3）當(dāng)t為何值時，△APQ是直角三角形？

Answer 1

考點：勾股定理,等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：動點型

分析：（1）過點C作CD⊥AB于D，根據(jù)直角三角形兩銳角互余求出∠ACD=30°，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AD，利用勾股定理列式求出CD，然后利用三角形的面積公式列式計算即可得解；
（2）表示出AP、AQ，然后根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等列出方程求解即可；
（3）分PQ⊥AC和PQ⊥AB兩種情況，列出方程求解即可．

解答：解：（1）如圖，過點C作CD⊥AB于D，
∵∠A=60°，
∴∠ACD=30°，
∴AD=

1

2

AC=

1

2

×12=6，
由勾股定理得，CD=

122-62

=6

3

，
所以，△ABC的面積=

1

2

×18×6

3

=54

3

；

（2）能．
∵∠A=60°，AP=AQ，
∴18-3t=2t，
解得t=3.6s；

（3）當(dāng)PQ⊥AC時，有AQ=

1

2

AP，
所以，2t=

1

2

（18-3t），
解得t

18

7

s；
當(dāng)PQ⊥AB，有AP=

1

2

AQ，
所以，18-3t=

1

2

×2t，
解得t=4.5s．

點評：本題考查了勾股定理，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，（3）要分情況討論．