Question

已知拋物線C₁：y=-x²+2mx+1（m為常數(shù)，且m＞0）的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)C；拋物線C₂與拋物線C₁關(guān)于y軸對(duì)稱，其頂點(diǎn)為B，連接AC，BC，AB．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，判定△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；
（2）拋物線C₁上是否存在點(diǎn)P，使得四邊形ABCP為菱形？如果存在，請(qǐng)求出m的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得：AC=BC等腰三角形，借助于輔助線，又可求得∠ACy=45°，可得△ABC為等腰直角三角形；
（2）首先假設(shè)成立，根據(jù)菱形的性質(zhì)求解，求得m=

3

，所以存在．

解答：解：（1）當(dāng)m=1時(shí)，△ABC為等腰直角三角形．　　
理由如下：
如圖：∵點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y軸對(duì)稱，點(diǎn)C又在y軸上，
∴AC=BC．　
過(guò)點(diǎn)A作拋物線C₁的對(duì)稱軸，交x軸于D，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于E．
當(dāng)m=1時(shí)，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（1，2），
∴CE=1．
又∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，1），AE=2-1．
∴AE=CE．從而∠ECA=45°，
∴∠ACy=45°．
由對(duì)稱性知∠BCy=∠ACy=45°，
∴∠ACB=90°．
∴△ABC為等腰直角三角形．　　

（2）假設(shè)拋物線C₁上存在點(diǎn)P，使得四邊形ABCP為菱形，則PC=AB=BC．
由（1）知，AC=BC，
∴AB=BC=AC．
∴△ABC為等邊三角形．
∴∠ACy=∠BCy=30°．
∵四邊形ABCP為菱形，且點(diǎn)P在C₁上，
∴點(diǎn)P與點(diǎn)C關(guān)于AD對(duì)稱．
∴PC與AD的交點(diǎn)也為點(diǎn)E，
因此∠ACE=90°-30°=60°．
∵點(diǎn)A，C的坐標(biāo)分別為A（m，m²+1），C（0，1），
∴AE=m²+1-1=m²，CE=m．
在Rt△ACE中，tan60°=

AE

CE

=

m2

m

=

3

．
∴m=±

3

，
∵m＞0，
∴m=

3

，
故拋物線C₁上存在點(diǎn)P，使得四邊形ABCP為菱形，
此時(shí)m=

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了二次函數(shù)與四邊形以及軸對(duì)稱圖形的綜合知識(shí)，解題時(shí)要注意輔助線選擇與應(yīng)用，還要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．