Question

如圖1，已知拋物線y=ax²+c與x軸正半軸交于點F（16，0）、與y軸負半軸交于點E（0，-16），邊長為16的正方形ABCD的頂點D與原點O重合，頂點A與點E重合，頂點C與點F重合．
（1）求拋物線的函數(shù)表達式；
（2）如圖2，若正方形ABCD在平面內(nèi)運動，并且邊BC所在的直線始終與x軸垂直，拋物線始終與邊AB交于點P且同時與邊CD交于點Q（運動時，點P不與A、B兩點重合，點Q不與C、D兩點重合）．設點A的坐標為（m，n）（m＞0），
①當PO=PF時，分別求出點P和點Q的坐標；
②在①的基礎上，當正方形ABCD左右平移時，m的取值范圍是

 

；
③當n=-7時，是否存在m的值使點P為AB邊中點？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題,解一元二次方程-直接開平方法,二次函數(shù)圖象上點的坐標特征,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,等腰三角形的性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）用待定系數(shù)法就可求出拋物線的解析式．
（2）①過點P作PG⊥x軸，垂足為G，根據(jù)等腰三角形的三線合一可得到點P的橫坐標，代入拋物線的解析式就可求出點P的坐標；由條件可以得到y(tǒng)_Q-y_P=16，從而求出點Q的縱坐標，代入拋物線的解析式就可求出點Q的坐標；②由于拋物線始終與邊AB交于點P且同時與邊CD交于點Q，只需考慮點C、點A左右平移到拋物線上時對應的m的值，就可得到m的范圍；③假設存在，由n=-7即y_P=-7可以求出x_P，由點P是AB的中點可求出此時m的值，從而得到正方形四個頂點以及點Q的坐標，此時點Q與點C重合，與條件矛盾，故不存在．

解答：解：（1）如圖1，
由拋物線y=ax²+c經(jīng)過點F（16，0）、點E（0，-16）得：

a•162+c=0 c=-16

，
解得：

a= 1 16 c=-16

，
∴拋物線的解析式為y=

1

16

x²-16．

（2）①過點P作PG⊥x軸，垂足為G，如圖2，
∵PO=PF，∴OG=FG．
∵F（16，0），∴OF=16．
∴OG=

1

2

OF=8，即x_P=8．
∵點P在拋物線上，
∴y_P=

1

16

×8²-16=-12．
∴點P的坐標為（8，-12）．
∵四邊形ABCD是邊長為16的正方形，
BC⊥x軸，A的坐標為（m，n）（m＞0），
∴y_Q=y_C=y_D，y_P=y_A=y_B=n，
x_A=x_D=m，y_D-y_A=x_C-x_D=16．
∴y_Q-y_P=16．
∴y_Q=4．
∴

1

16

x_Q²-16=4．
解得：x_Q=±8

5

．（舍負）
∴點Q的坐標為（8

5

，4）．
②當點C移動到點（8

5

，4）時，8

5

-m=16．
解得：m=8

5

-16．
當點A移動到點（8，-12）時，m=8．
∵拋物線始終與邊AB交于點P且同時與邊CD交于點Q，
（運動時，點P不與A、B兩點重合，點Q不與C、D兩點重合）
∴m的范圍是8

5

-16＜m＜8．
故答案為：8

5

-16＜m＜8．
③當n=-7時，不存在m使點P為AB邊中點．
證明：（反證法）假設存在m使點P為AB邊中點，
由n=-7得y_P=-7，則有

1

16

x_P²-16=-7．
解得：x_P=±12．（舍負）
故x_P=12．
∵點P為AB邊中點，∴AP=BP=

1

2

AB=8．
∴x_P-x_A=8，即12-m=8．
解得：m=4．
此時A（4，-7），B（20，-7），C（20，9），D（4，9）．
由

1

16

x²-16=9得x=±20（舍負），則Q（20，9）．
此時點Q與點C重合．
與條件“運動時，點P不與A、B兩點重合，點Q不與C、D兩點重合”矛盾，
所以假設不成立．
所以當n=-7時，不存在m使點P為AB邊中點．

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的圖象上的點的坐標特征、正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、解一元二次方程等知識，有一定的綜合性．在解答的過程中采用了臨界值法求m的范圍，采用了反證法證明“當n=-7時，不存在m使點P為AB邊中點．”在解決最后一個問題的過程中，可能會產(chǎn)生因沒有驗證而認為存在的錯誤，有利于培養(yǎng)學生良好的學習習慣，有利于形成科學的學習態(tài)度，是一條好題．