Question

如圖1，若四邊形ABCD、四邊形CFED都是正方形，顯然圖中有AG=CE，AG⊥CE.

1.當正方形GFED繞D旋轉到如圖2的位置時，AG=CE， AG⊥CH是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.

2.當正方形GFED繞D旋轉到如圖3的位置時，延長CE交AG于H，交AD于M.當AD=4，DG=時，求CH的長。

 

Answer 1

 

1.AG=CE， AG⊥CH成立

2.CH=

解析:解：（1）成立．

四邊形、四邊形是正方形，

∴    ……………1分

∠∠.

 ∴∠90°-∠∠.                          ……………2分

∴△△.

 ∴.               ……………3分

（1）可得△△，

∴∠1＝∠2              …………………4分

又∵∠＝∠. 

∴∠∠＝.

即            …………………5分

（1）解法一: 過作于,

（2）

由題意有,

∴，則∠1＝.   ………6分

而∠1＝∠2，∴∠2＝＝∠1＝.

∴　，即.         …………………7分

在Rt中，＝＝,………8分

而∽,∴,　即,　　　　

∴.　                                …………………9分

再連接，顯然有,

∴.

所求的長為.                            …………………10分

解法二：研究四邊形ACDG的面積

過作于,

由題意有,

∴,.        ………………8分

而以CD為底邊的三角形CDG的高=PD=1,

,

∴4×1+4×4=×CH+4 ×1.

∴=.               ………………10分