Question

如圖，在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，∠BAC=45°，AD⊥BC于點(diǎn)D，BD=3，CD=2．
（1）求b、c之間的數(shù)量關(guān)系；
（2）若三角形ABC的面積是S，試求出S與c之間的函數(shù)關(guān)系；
（3）求三角形ABC的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,正方形的性質(zhì)

專題：

分析：設(shè)∠BAD=α，∠DAC=β，
（1）根據(jù)正切的定義得tanα=

BD

AD

=

3

AD

；tanβ=

CD

AD

=

2

AD

，由于tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanα•tanβ

，則tan45°（1-

3

AD

•

2

AD

）=

3

AD

+

2

AD

，解得AD=6或AD=-1（舍去），然后根據(jù)勾股定理得到c=3

5

，b=2

10

，則

b

c

=

2 2

3

；
（2）根據(jù)三角形面積公式得S=

1

2

bc•sin45°，消去b得S=

1

3

c²；
（3）把c=3

5

代入（2）中的結(jié)論中計(jì)算即可．

解答：解：設(shè)∠BAD=α，∠DAC=β，
（1）在Rt△ABD中，tanα=

BD

AD

=

3

AD

；
在Rt△ADC中，tanβ=

CD

AD

=

2

AD

，
∵tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanα•tanβ

，
∴tan45°（1-

3

AD

•

2

AD

）=

3

AD

+

2

AD

，
整理得AD²-5AD-6=0，解得AD=6或AD=-1（舍去），
∴AB=c=

BD2+AD2

=3

5

，AC=b=

CD2+AD2

=2

10

，
∴

b

c

=

2 2

3

；
（2）S=

1

2

bc•sin45°=

1

2

•

2 2

3

c•c•

2

2

=

1

3

c²；
（3）S=

1

3

×（3

5

）²=15．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了三角函數(shù)的定義和三角函數(shù)公式．