Question

【題目】閱讀下列材料，解決后面三個(gè)問題：

我們可以將任意三位數(shù)表示為（其中a、b、c分別表示百位上的數(shù)字，十位上的數(shù)字和個(gè)位上的數(shù)字，且a ≠0），顯然=100a +10b +c；我們形如和的兩個(gè)三位數(shù)稱為一對(duì)“姊妹數(shù)”（其中x、y、z是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)）如：123和321是一對(duì)姊妹數(shù)，678和876是一對(duì)“姊妹數(shù)”。

（1）寫出任意兩對(duì)“姊妹數(shù)”。

（2）一對(duì)“姊妹數(shù)”的和為1110，求這對(duì)“姊妹數(shù)”。

（3）如果用x表示百位數(shù)字，求證：任意一對(duì)“姊妹數(shù)”的和能被37整除．

Answer 1

【答案】（1）234和432是一對(duì)姊妹數(shù)，345和543是一對(duì)姊妹數(shù)；

（2）這對(duì)“姊妹數(shù)”位654和456.

（3）見解析．

【解析】

（1）根據(jù)“姊妹數(shù)”的意義即可直接寫出兩對(duì)“姊妹數(shù)”；

（2）根據(jù)“姊妹數(shù)”的意義設(shè)出一個(gè)三位數(shù)，表示出它的“姊妹數(shù)”，求和，用1110建立方程求解即可；
（2）表示出這對(duì)“姊妹數(shù)”，并且求和，寫成37×6（x1），判斷6（x1）是整數(shù)即可．

（1）根據(jù)“姊妹數(shù)”滿足的條件得，234和432是一對(duì)姊妹數(shù)，345和543是一對(duì)姊妹數(shù)；

（2）設(shè)這對(duì)“姊妹數(shù)”中的一個(gè)三位數(shù)的十位數(shù)字為x，個(gè)位數(shù)字為（x1），百位數(shù)字為（x＋1），（x為大于1小于9的整數(shù)），
∴這個(gè)三位數(shù)為100（x＋1）＋10x＋x1＝111x＋99，
∴另一個(gè)三位數(shù)的十位數(shù)字為x，個(gè)位數(shù)字為（x＋1），百位數(shù)字為（x1），則這個(gè)三位數(shù)為100（x1）＋10x＋x＋1＝111x99，
∴這對(duì)“姊妹數(shù)”的和為（111x＋99）＋（111x99）＝222x＝1110，
∴x＝5，符合題意，
∴這對(duì)“姊妹數(shù)”位654和456.

（3）∵x表示一個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字，（x為大于2小于9的整數(shù)），
根據(jù)“姊妹數(shù)”的意義得，這個(gè)三位數(shù)的十位數(shù)字為（x1），個(gè)位數(shù)字為（x2），
∴這個(gè)三位數(shù)為：100x＋10（x1）＋（x2）＝111x12，
∴它的“姊妹數(shù)”為：100（x2）＋10（x1）＋x＝111x210，
∴這對(duì)“姊妹數(shù)”的和為：（111x12）＋（111x210）＝222x222＝222（x1）＝37×6（x1），
∵x為大于2小于9的整數(shù)，
∴（x1）是整數(shù)，
∴6（x1）是整數(shù)，
∴37×6（x1）能被37整除，
即：任意一對(duì)“姊妹數(shù)”的和能被37整除．