Question

在△ABC的邊BC，CA，AB上取點(diǎn)A₁，B₁，C₁，線段A₁B₁，B₁C₁，C₁A₁將△ABC分成四個(gè)面積相等的三角形．
求證：A₁，B₁，C₁是△ABC三邊的中點(diǎn)．

Answer 1

解：如圖，給各邊取名后，a=a₁+a₂；b=b₁+b₂；c=c₁+c₂
（1）的面積=b₂•c₁•sinA=bcsinA=△ABC的面積
故：b₂•c₁=bc
類似地可以得到：c₂•a₁=ca和a₂•b₁=ab
將上述結(jié)果轉(zhuǎn)換代入下式：
1=（a₁+a₂）•=，
整理得=2，
類似地可以得到：=2和=2，
將上述三式相加：得++=6，
有均值不等式可知
得++≥6，
即大于等于6，當(dāng)且僅當(dāng)A₁，B₁，C₁是△ABC三邊的中點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，
由于本題中恰好取得最小值6，故：A₁，B₁，C₁是△ABC三邊的中點(diǎn)．
命題得證．
分析：依題意畫出圖形，用正弦定理求出各個(gè)三角形的面積，外邊三者面積相加，利用均值不等式進(jìn)行證明．
點(diǎn)評(píng)：考查了利用正弦定理計(jì)算三角形面積的能力．熟練應(yīng)用均值不等式是解題的關(guān)鍵．