Question

若

1

x

+

1

y

+

1

z

=

1

x+y+z

=1，則x，y，z中，正數(shù)的個數(shù)為（　　）

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、都有可能

Answer 1

考點：分式的等式證明

專題：

分析：由于式子為對稱式，不妨設(shè)x≥y＞z，因為

1

x

+

1

y

+

1

z

=

1

x+y+z

=1，所以不可能都是正數(shù)．可以先確定z＜0，再判斷出x+y+z=1，由于x最大，則x大于0，進而判斷出y的取值．

解答：解：不妨設(shè)x≥y＞z，因為

1

x

+

1

y

+

1

z

=

1

x+y+z

=1，所以不可能都是正數(shù)．
∵若假設(shè)都是正數(shù)，則x＜x+y+z，
則

1

x

＞

1

x+y+z

，同理

1

y

＞

1

x+y+z

，

1

z

＞

1

x+y+z

，
則

1

x

+

1

y

+

1

z

＞

1

x+y+z

，
與

1

x

+

1

y

+

1

z

=

1

x+y+z

，矛盾．
∴可以先確定z＜0．
又∵有x+y+z=1，
∴x＞0，
∴x+y=1-z＞0．
還有xy+yz+xz=xyz，即有xy（1-z）=-z（x+y）＞0，
∴xy＞0，
再根據(jù)x+y＞0，
有x＞0，y＞0且z＜0．
故選B．

點評：本題考查了分式等式的證明，巧妙的邏輯推理是解題的關(guān)鍵．