Question

如圖，已知等邊△ABC，以AB為直徑的半圓與BC邊交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作⊙O的切線DF交AC于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，過點(diǎn)F作FG⊥AB，垂足為點(diǎn)G，連結(jié)GD．

（1）求證：DF⊥AC；

（2）若AB=8，求tan∠FGD的值．

Answer 1

（1）證明：如圖，

連接OD，

∵DF是⊙O的切線，

∴DF⊥OD．

∵△ABC為等邊三角形，

∴∠A=∠B=60°，

∵OD=OB，

∴△ODB是等邊三角形，

∴∠DOB=60°，

∴∠DOB=∠A，

∴OD∥AC，

∴DF⊥AC．

（2）解：∵FG⊥AB，DE⊥AB，

∴FG∥DE，

∴∠FGD=∠GDE，

由（1）得△OBD是等邊三角形，

∴BE=OB=×4=2．

∴DE=BE=2．

在Rt△CFD中，∠C=60°，CD=BC﹣BD=8﹣4=4，

∴CF=CD=2．

在Rt△AFG中，∠A=60°，

AF=AC﹣CF=8﹣2=6，

∴AG=AF=3，

在Rt△GDE中．

GE=AB﹣AG﹣BE=8﹣3﹣2=3，

∴tan∠GDE===，

∴tan∠FGD=．