Question

【題目】定義：在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)于任意兩點(diǎn)P(m，y)Q(m，y0)，m為任意實(shí)數(shù)．若y0=，則稱(chēng)點(diǎn)Q是點(diǎn)P的變換點(diǎn)．例如：若點(diǎn)P(1，y)在直線y=x上，點(diǎn)P的變換點(diǎn)Q在函數(shù)y=的圖象上設(shè)點(diǎn)P(m，y)在函數(shù)y=﹣x2+2x+3的圖象上，點(diǎn)P的變換點(diǎn)Q所在的圖象記為G．

（1）求圖象G對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）設(shè)圖象G與x軸的交點(diǎn)為A、B(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))與y軸交于點(diǎn)C，連結(jié)AC、BC，求△ABC的面積；

（3）當(dāng)﹣2≤x≤m時(shí)，若圖象G的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)之間的距離不大于，直接寫(xiě)出m的取值范圍；

（4）設(shè)點(diǎn)P(，y)在函數(shù)y=ax2﹣3ax﹣4a(a≠0)的圖象上，點(diǎn)P的變換點(diǎn)Q所在的圖象記為G1，圖象G1與x軸的交點(diǎn)為M、N(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè))，連結(jié)MN，將MN沿y軸向上平移一個(gè)單位得到線段M'N'，當(dāng)圖象G1與線段M'N'只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=，（2）6或3；（3）1﹣≤m≤0或1≤m≤1+或3≤m≤1+或m≥4；（4）a或0＜a＜．

【解析】

（1）由題意得：函數(shù)G的表達(dá)式為：y=，

（2）點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（﹣1，0）、（3，0），點(diǎn)C（0，3）或（0，﹣），故△ABC的面積=×AB×OC=6或3；

（3）分m≤﹣1、﹣1≤m≤1、1≤m≤3、m≥3三種情況，分別求解即可；

（4）分當(dāng)a＜0、a＞0兩種情況求解即可．

解：（1）由題意得：

函數(shù)G的表達(dá)式為：y=，

（2）如圖1，令y=0，

解得：x=﹣1或3，

故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（﹣1，0）、（3，0），

函數(shù)對(duì)稱(chēng)軸為：x=1，

點(diǎn)C（0，3）或（0，﹣）；

故△ABC的面積=×AB×OC=6或3；

（3）①當(dāng)m≤﹣1時(shí)，如圖2，

當(dāng)﹣2≤x≤m時(shí)，圖象G的最高點(diǎn)為R，最低點(diǎn)B，點(diǎn)R（﹣2，），

則yR﹣yB，

即﹣（﹣m2+2m+3），

解得：1﹣≤m≤1+，

故1﹣≤m≤﹣1；

②當(dāng)﹣1≤m≤1時(shí)，如圖3所示，點(diǎn)A（﹣2，）

當(dāng)點(diǎn)A為最高點(diǎn)時(shí)，

yA﹣yC，

即+（﹣m2+2m+3），

解得：m為任意實(shí)數(shù)；

點(diǎn)B是高點(diǎn)時(shí)，

yB﹣yC，

即（﹣m2+2m+3），

解得：m≥2或m≤0，

故﹣1≤m≤0；

③當(dāng)1≤m≤3時(shí)，如圖4所示，點(diǎn)A（﹣2，），頂點(diǎn)E（1，﹣2），

當(dāng)點(diǎn)A是最高點(diǎn)時(shí)，

yA﹣yE=，符合條件；

當(dāng)點(diǎn)C是最高點(diǎn)時(shí)，

yC﹣yE，

即（﹣m2+2m+3），

解得：1﹣≤m≤1，

故1≤m≤1+；

④當(dāng)m≥3時(shí)，如圖5所示，點(diǎn)A（﹣2，），頂點(diǎn)E（1，﹣2），

（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)A是最高點(diǎn)時(shí)，

當(dāng)點(diǎn)E是最低點(diǎn)時(shí)，yA﹣yE=；

當(dāng)點(diǎn)D時(shí)最低點(diǎn)時(shí)，yA﹣yD，

即﹣（﹣m2+2m+3），

解得：3≤m≤1+；

故3≤m≤1+；

（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)B是最高點(diǎn)時(shí)，

當(dāng)點(diǎn)E是最低點(diǎn)時(shí)，yB﹣yE=，同理可得：m≥4，

當(dāng)點(diǎn)D時(shí)最低點(diǎn)時(shí)，yB﹣yD≤，同理可得：m≤1+，

故：3≤m≤1+或m≥4；

綜上，1﹣≤m≤0或1≤m≤1+或3≤m≤1+或m≥4；

（4）①當(dāng)a＜0時(shí)，如圖6所示，

當(dāng)x=﹣時(shí)，對(duì)應(yīng)拋物線上的實(shí)點(diǎn)R，則yR＞1，

即：y=ax2﹣3ax﹣4a=a（+﹣4）＞1，

解得：a，

②當(dāng)a＞0時(shí)，

當(dāng)x=﹣時(shí)，﹣（ax2﹣3ax﹣4a）＜1，

即﹣a（+﹣4）＜1，

解得：a，即0＜a＜；

綜上，a的取值范圍為：a或0＜a＜．