【題目】如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,AB為直徑,E為AB延長線上的點,作OD∥BC交EC的延長線于點D,連接AD.
(1)求證:AD=CD;
(2)若DE是⊙O的切線,CD=3,CE=2,求tanE和cos∠ABC的值.

【答案】
(1)證明:∵AB為直徑,

∴∠ACB=90°,

∴BC⊥AC,

∵OD∥BC,

∴OD⊥AC,

∴OD平分AC,即OD垂直平分AC,

∴AD=CD


(2)解:連結OC,如圖,設⊙O的半徑為r,

∵BC∥OD,

= ,即 = ,解得BE= r,

∵DE為切線,

∴OC⊥DE,

∴∠OCD=∠OCE=90°,

在△OAD和△OCD中,

∴△OAD≌△OCD,

∴∠OAD=90°,

在Rt△ADE中,∵AD=AC=3,DE=DC+CE=5,

∴AE= =4,

∴tanE= = ,

∵OD∥BC,

∴∠ABC=∠AOD,

在Rt△AOD中,OD= = = ,

∴cos∠AOD= = =

∴cos∠ABC=

答:tanE= ,cos∠ABC=


【解析】(1)先利用圓周角定理得到∠ACB=90°,再利用OD∥BC得到OD⊥AC,然后根據(jù)垂徑定理和線段垂直平分線的性質(zhì)可得到結論; 2)連結OC,如圖,設⊙O的半徑為r,先利用平行線分線段成比例定理得到r= ,再證明△OAD≌△OCD得到∠OAD=90°,則根據(jù)勾股定理可計算出AE=4,這樣利用正切定理可得tanE的值,再利用OD∥BC得到∠ABC=∠AOD,然后在Rt△AOD中,先計算出OD,再利用余弦得到cos∠AOD的值,從而得到cos∠ABC的值.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形的外接圓與外心的相關知識,掌握過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓,其圓心叫做三角形的外心,以及對切線的性質(zhì)定理的理解,了解切線的性質(zhì):1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.

練習冊系列答案
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