Question

己知AB為⊙O的直徑，直線AP與⊙O相切于點(diǎn)A，過點(diǎn)B作BC∥OP，交⊙O于點(diǎn)C，連接PC．
（1）求證：PC是⊙O的切線；
（2）若BC=3，直徑AB=7，求線段AP的長．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）如圖，作輔助線，證明△AOP≌△COP，進(jìn)而證明∠PCO=90°，即可解決問題．
（2）如圖，作輔助線，證明△AOP∽△CBA，列出比例式求出PA的長即可解決問題．

解答：解：（1）如圖，連接OC；
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB；
∵BC∥OP，
∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB，
∴∠AOP=∠COP；
在△AOP與△COP中，
∵

AO=CO ∠AOP=∠COP OP=OP

，
∴△AOP≌△COP，
∴∠PCO=∠PAO；
∵直線AP與⊙O相切于點(diǎn)A，
∴∠PAO=90°，
∴∠PCO=90°，
∴PC是⊙O的切線．

（2）如圖，連接AC；
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
又∵∠PAO=90°，∠AOP=∠OBC，
∴△AOP∽△CBA，
∴

PA

AC

=

OA

BC

①；
由勾股定理得：
AC²=AB²-BC²=49-9=40，
∴AC=2

10

，
∵OA=3.5，BC=3，代入①式并解得：
AP=

7 10

3

．

點(diǎn)評(píng)：該命題主要考查了切線的判定及其性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定及其性質(zhì)等重要幾何知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)定理來分析、判斷、推理或解答．