【題目】如圖,矩形的頂點分別在軸和軸上,點的坐標為,雙曲線,的圖象經(jīng)過上的點交于點,連接,若若的中點﹒

(1)點的坐標;

(2)邊上一點,若相似,求的解析式;

(3)若點也在此反比例函數(shù)的圖象上(其中),過點作軸的垂線,交軸于點,若線段上存在一點,使得的面積是,設點的縱坐標為,求的值.

【答案】(1)的坐標為;(2)的解析式為:,或;(3)

【解析】

(1)先求出點E的坐標,求出雙曲線的解析式再求出CD=1,即可得出點D的坐標;

(2)分兩種情況FBC和△DEB相似,BDBC是對應邊時,,求出CF,得出F的坐標,用待定系數(shù)法即可求出直線BF的解析式

BDCF是對應邊時,,求出CF、OF得出F的坐標,用待定系數(shù)法即可求出直線BF的解析式

(3)由題意得出m(3m+6 )=3,m2+2m﹣1=0,由三角形的面積得出mn=1,代入得出n2﹣2n=1,即可得出所求式子的值

1)∵四邊形ABCD是矩形,∴OABCABOC

B(2,3),EAB的中點,∴ABOC=3,OABC=2,AEBEAB,∴E(2,),∴k=23,∴雙曲線解析式為y;

∵點D在雙曲線yx>0)上,∴OCCD=3,∴CD=1,∴點D的坐標為:(1,3);

(2)∵BC=2,CD=1,∴BD=1,分兩種情況

FBC和△DEB相似,BDBC是對應邊時,,∴CF=3,∴F(0,0),FO重合設直線BF的解析式為ykx,把點B(2,3)代入得k∴直線/span>BF的解析式為yx;

FBC和△DEB相似BDCF是對應邊時,,,∴CF,∴OF=3,∴F(0,),設直線BF的解析式為yax+c,B(2,3),F(0,)代入得,解得ac,∴直線BF的解析式為y

綜上所述若△FBC和△DEB相似,BF的解析式為yxy;

(3)∵點Pm,3m+6)在反比例函數(shù)y的圖象上,∴m(3m+6 )=3,整理得m2+2m﹣1=0.

PQx,∴Q點的坐標為:(m,n).

∵△OQM的面積為,∴OMQM,∴OMQM=1.

m>0,∴mn=1,∴m,代入m2+2m﹣1=01=0,n2﹣2n﹣1=0,∴n2﹣2n=1,∴n2﹣2n+9=10.

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