【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,AB在x軸上,以AB為直徑的半圓⊙O‘與y軸正半軸交于點(diǎn)C,連接BC,AC.CD是半圓⊙O’的切線(xiàn),AD⊥CD于點(diǎn)D
(1)求證:∠CAD =∠CAB(3分)
(2)已知拋物線(xiàn)過(guò)A、B、C三點(diǎn),AB=10,tan∠CAD=.
① 求拋物線(xiàn)的解析式(3分)
② 判斷拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)E是否在直線(xiàn)CD上,并說(shuō)明理由(3分);
③ 在拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)P,使四邊形PBCA是直角梯形.若存在,直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)(不寫(xiě)求解過(guò)程);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由(3分).
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)①y=-x2-x+4;②拋物線(xiàn)頂點(diǎn)E在直線(xiàn)CD上;理由見(jiàn)解析;(3)P1(-10,-6).P2(10,-36).
【解析】
試題(1)連接O′C,由CD是⊙O的切線(xiàn),可得O′C⊥CD,則可證得O′C∥AD,又由O′A=O′C,則可證得∠CAD=∠CAB;
(2)①首先證得△CAO∽△BCO,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,可得OC2=OAOB,又由tan∠CAO=tan∠CAD=,則可求得CO,AO,BO的長(zhǎng),然后利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式;
②首先證得△FO′C∽△FAD,由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,即可得到F的坐標(biāo),求得直線(xiàn)DC的解析式,然后將拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)代入檢驗(yàn)即可求得答案;
③根據(jù)題意分別從PA∥BC與PB∥AC去分析求解即可求得答案,小心漏解.
試題解析:(1)證明:連接O′C,
∵CD是⊙O′的切線(xiàn),
∴O′C⊥CD,
∵AD⊥CD,
∴O′C∥AD,
∴∠O′CA=∠CAD,
∵O′A=O′C,
∴∠CAB=∠O′CA,
∴∠CAD=∠CAB;
(2)解:①∵AB是⊙O′的直徑,
∴∠ACB=90°,
∵OC⊥AB,
∴∠CAB=∠OCB,
∴△CAO∽△BCO,
∴,
即OC2=OAOB,
∵tan∠CAO=tan∠CAD=,
∴AO=2CO,
又∵AB=10,
∴OC2=2CO(10-2CO),
解得CO1=4,CO2=0(舍去),
∴CO=4,AO=8,BO=2
∵CO>0,
∴CO=4,AO=8,BO=2,
∴A(-8,0),B(2,0),C(0,4),
∵拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A,B,C三點(diǎn),
∴c=4,
由題意得:
,
解得:,
∴拋物線(xiàn)的解析式為:y=-x2-x+4;
②設(shè)直線(xiàn)DC交x軸于點(diǎn)F,
∴△AOC≌△ADC,
∴AD=AO=8,
∵O′C∥AD,
∴△FO′C∽△FAD,
∴,
∴O′FAD=O′CAF,
∴8(BF+5)=5(BF+10),
∴BF=,F(,0);
設(shè)直線(xiàn)DC的解析式為y=kx+m,
則,
解得:,
∴直線(xiàn)DC的解析式為y=-x+4,
由y=-x2-x+4=-(x+3)2+得頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-3,),
將E(-3,)代入直線(xiàn)DC的解析式y=--x+4中,
右邊=-×(-3)+4==左邊,
∴拋物線(xiàn)頂點(diǎn)E在直線(xiàn)CD上;
(3)存在,P1(-10,-6),P2(10,-36).
①∵A(-8,0),C(0,4),
∴過(guò)A、C兩點(diǎn)的直線(xiàn)解析式為y=x+4,
設(shè)過(guò)點(diǎn)B且與直線(xiàn)AC平行的直線(xiàn)解析式為:y=x+b,把B(2,0)代入得b=-1,
∴直線(xiàn)PB的解析式為y=x-1,
∴,
解得,(舍去),
∴P1(-10,-6).
②求P2的方法應(yīng)為過(guò)點(diǎn)A作與BC平行的直線(xiàn),
可求出BC解析式,進(jìn)而求出與之平行的直線(xiàn)的解析式,
與求P1同法,可求出x1=-8,y1=0(舍去);x2=10,y2=-36.
∴P2的坐標(biāo)(10,-36).
考點(diǎn): 二次函數(shù)綜合題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AD和BE是高,∠ABE=45°,點(diǎn)F是AB的中點(diǎn),AD與FE,BE分別交于點(diǎn)G、H.有下列結(jié)論:①FD=FE;②AH=2CD;③BCAD=AE2;④S△ABC=2S△ADF.其中正確結(jié)論的序號(hào)是_____.(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上)
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【題目】如圖分別表示步行與騎車(chē)在同一路上行駛的路程與時(shí)間的關(guān)系,根據(jù)圖象回答下列問(wèn)題:
(1)出發(fā)時(shí)與相距 千米;
(2)走了一段路后,自行車(chē)發(fā)生故障,進(jìn)行修理,所用的時(shí)間是 小時(shí);
(3)出發(fā)后 小時(shí)與相遇;
(4)求行走的路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在等邊△ABC中,E、D兩點(diǎn)分別在邊AB、BC上,BE=CD,AD、CE相交于點(diǎn)F.
(1)求∠AFE的度數(shù);
(2)過(guò)點(diǎn)A作AH⊥CE于H,求證:2FH+FD=CE;
(3)如圖2,延長(zhǎng)CE至點(diǎn)P,連接BP,∠BPC=30°,且CF=CP,求的值.
(提示:可以過(guò)點(diǎn)A作∠KAF=60°,AK交PC于點(diǎn)K,連接KB)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】)圖①中是一座鋼管混凝土系桿拱橋,橋的拱肋ACB可視為拋物線(xiàn)的一部分(如圖②),橋面(視為水平的)與拱肋用垂直于橋面的系桿連接,測(cè)得拱肋
的跨度AB為200米,與AB中點(diǎn)O相距20米處有一高度為48米的系桿.
【1】求正中間系桿OC的長(zhǎng)度;
【2】若相鄰系桿之間的間距均為5米(不考慮系桿的粗細(xì)),則是否存在一根系桿的長(zhǎng)度恰好是OC長(zhǎng)度的一半?請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=3,點(diǎn)E為邊CD上一點(diǎn),將△ADE沿AE所在直線(xiàn)翻折,得到△AFE,點(diǎn)F恰好是BC的中點(diǎn),M為AF上一動(dòng)點(diǎn),作MN⊥AD于N,則BM+AN的最小值為____.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線(xiàn)l1:y=x+6與y軸交于點(diǎn)A,直線(xiàn)l2:y=kx+b與y軸交于點(diǎn)B,與l1相交于C(﹣3,3),AO=2BO.
(1)求直線(xiàn)l2:y=kx+b的解析式;
(2)求△ABC的面積.
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【題目】如圖,矩形的頂點(diǎn)、分別在軸和軸上,點(diǎn)的坐標(biāo)為,雙曲線(xiàn),的圖象經(jīng)過(guò)上的點(diǎn)與交于點(diǎn),連接,若若是的中點(diǎn)﹒
(1)求點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)點(diǎn)是邊上一點(diǎn),若和相似,求的解析式;
(3)若點(diǎn)也在此反比例函數(shù)的圖象上(其中),過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn),交軸于點(diǎn),若線(xiàn)段上存在一點(diǎn),使得的面積是,設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,求的值.
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