Question

【題目】綜合與探究

如圖，拋物線與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)是射線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，與軸右側(cè)的拋物線交于點(diǎn)．點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，沿射線以每秒1個單位長度的速度向右運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動的時間為t秒．請解答下列問題：

(1)求直線AC的表達(dá)式與點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)在點(diǎn)運(yùn)動的過程中，若以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求運(yùn)動的時間；

(3)設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對稱，

①點(diǎn)的坐標(biāo)為 (用含的代數(shù)式表示，結(jié)果需化簡)；

②當(dāng)點(diǎn)落在拋物線的對稱軸上且點(diǎn)在線段上時，在平面內(nèi)是否存在點(diǎn)F，使得以點(diǎn)，，，F為頂點(diǎn)的四邊形為菱形?若存在，請求出此時點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)，C (0，2)； (2) 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，2) ；(3) ①(，)或(，)；②(，)

【解析】

(1)先求得點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求解；

(2)分類討論，當(dāng)Q在軸上方或下方時，利用,求得QD的長即可求解；

(3)①分類討論，當(dāng)P在點(diǎn)B的左側(cè)或右側(cè)時，利用,即可求解；

②先求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再求得t的值，利用菱形的性質(zhì)即可求解．

(1)令，則，

解得：，

∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(-1，0)、(5，0)，

令，則，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，2)，

設(shè)直線AC的解析式為，

將點(diǎn)A的坐標(biāo)(-1，0)代入得，

解得：，

∴直線AC的解析式為；

(2)如圖，當(dāng)Q在軸上方時，作QD⊥AB于D，

∵ACQP為平行四邊形，

∴CQ∥AP，

∴CO=QD=2，

∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為2，

∴，

解得：，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，

∴AP=CQ=4，

∴運(yùn)動的時間為4秒時，ACQP為平行四邊形；

如圖，當(dāng)Q在軸下方時，作QD⊥AB于D，

∵ACPQ為平行四邊形，

∴PQ=AC，PQ∥AC，

∴∠CAO=∠QPD，

∴,

∴CO=QD=2，PD=AO=1，

∴點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為-2，

∴，

解得：(不合題意，舍去)，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，

∴OD=，

∴，

∴運(yùn)動的時間為秒時，ACPQ為平行四邊形；

綜上，當(dāng)運(yùn)動的時間為或秒時，A、C、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；

(3)①連接PD，過D作DE⊥AB于E，BD交PQ于G，

∵點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為(-1，0)、(0，2)，

∴AO=1，CO=2，

∴，

∵BD關(guān)于直線對稱，AP=t，

∴BP=PD=AB-AP=6-t，PQ⊥BD，BG=DG，

∵PQ∥AC，

∴∠CAO=∠BPG，

∴

∴，即，

∴，則，

∵

∴∠ACO=∠PBG，

∴

∴，即，

∴，，

∴，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)，

當(dāng)P在點(diǎn)B的右側(cè)時，如圖，

同理可得，，

∴，

此時，點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)，

綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)或(，)；

②存在，理由如下：

由①知PQ⊥BD，BG=DG，

∵四邊形BPDF為菱形，

∴DF=BP，DF∥BP，

拋物線的對稱軸為，

∵點(diǎn)在對稱軸上，且點(diǎn)在線段上，如圖：

∴，

解得：，

∴，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為(，)，，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(，)，即(，)．