Question

如圖，∠BAD=∠CAE=90o，AB=AD，AE=AC，AF⊥CF，垂足為F．

（1）若AC=10，求四邊形ABCD的面積；

（2）求證：AC平分∠ECF；

（3）求證：CE=2AF ．

Answer 1

（1）50；（2）（3）見解析．

【解析】

試題分析：（1）根據∠BAD=∠CAE得出∠BAC=∠EAD，根據AB=AD，AC=AE得出△ABC和△ADE全等，將四邊形ABCD的面積轉化成△ACE的面積進行計算；（2）根據等腰直角三角形的性質得出∠ACE=∠E=45°，根據全等得出∠ACF=∠E=45°，從而說明角平分線；（3）過點A作AG⊥CE，根據角平分線的性質得到AF=AG，根據等腰直角三角形斜邊上的高的性質得出CE=2AG，則可以說明CE=2AF．

試題解析：（1）∵∠BAD=∠CAE=90o，∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD ∴∠BAC=∠EAD

又∵AB=AD，AC=AE ∴△ABC≌△ADE（SAS）

∵ ∴=+==×=50．

（2）證明：∵△ACE是等腰直角三角形，∴∠ACE=∠AEC=45°，

由△ABC≌△ADE得：∠ACB=∠AEC=45°， ∴∠ACB=∠ACE， ∴AC平分∠ECF．

（3）證明：過點A作AG⊥CD，垂足為點G． ∵AC平分∠ECF，AF⊥CB， ∴AF=AG，

又∵AC=AE， ∴∠CAG=∠EAG=45o， ∴∠CAG=∠EAG=∠ACE=∠AEC=45o，

∴CG=AG=GE， ∴CE=2AG， ∴CE=2AF．

考點：三角形全等的性質與判定，角平分線的性質、等腰直角三角形的性質．

考點分析： 考點1：三角形 （1）三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形．
組成三角形的線段叫做三角形的邊．
相鄰兩邊的公共端點叫做三角形的頂點．
相鄰兩邊組成的角叫做三角形的內角，簡稱三角形的角．
（2）按邊的相等關系分類：不等邊三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等邊三角形）．
（3）三角形的主要線段：角平分線、中線、高．
（4）三角形具有穩(wěn)定性． 試題屬性

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