Question

如圖，已知二次函數y=-

1

2

x2+bx+c的圖象經過A（2，0）、B（0，-6）兩點．
（1）求這個二次函數的解析式．
（2）設該二次函數的對稱軸與x軸交于點C，連接BA、BC，求△ABC的面積．
（3）根據圖象，寫出函數值y為負數時，自變量x的取值范圍．
（4）填空：要使該二次函數的圖象與x軸只有一個交點，應把圖象沿y軸向下平移

 

個單位．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數法，將A（2，0）、B（0，-6）代入y=-

1

2

x2+bx+c即可求出函數解析式；
（2）根據解析式，求出C點坐標、B點坐標，再利用三角形面積公式即可求出△ABC的面積；
（3）求出拋物線與x軸的交點坐標，即可得出x的取值范圍；
（4）求出拋物線的頂點縱坐標，即可根據平移知識得出答案．

解答：解：（1）把A（2，0）、B（0，-6）代入y=-

1

2

x2+bx+c，
得：

-2+2b+c=0 c=-6

，
解得

b=4 c=-6

，
∴這個二次函數的解析式為y=-

1

2

x2+4x-6；

（2）∵該拋物線對稱軸為直線x=-

4

2×(- 1 2 )

=4，
∴點C的坐標為（4，0），
∴AC=OC-OA=4-2=2，
∴S△ABC=

1

2

×AC×OB=

1

2

×2×6=6；

（3）當y=0時，-

1

2

x2+4x-6=0，
解得，x₁=2，x₂=6，
由圖可知，x＜2或x＞6．

（4）將（2）中所求x=4代入解析式，即可得頂點坐標為-

1

2

×4²+4×4-6=2，
可見把圖象沿y軸向下平移2個單位，則該二次函數的圖象與x軸只有一個交點．
故答案為：2．

點評：此題綜合性較強，考查了拋物線與x軸的交點、用待定系數法求函數解析式、二次函數圖象與幾何變換等知識，解答時要理清思路，并注意計算的正確性．