Question

【題目】已知的內(nèi)切圓⊙O與AB、BC、AC分別相切于D、E、F，若，如圖1.

（1）判斷的形狀，并證明你的結(jié)論；

（2）連接AE，若，求AE的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）為等腰三角形，見(jiàn)解析；（2）

【解析】

（1）根據(jù)圓心角和弧的關(guān)系、切線的性質(zhì)和四邊形的內(nèi)角和易證得：，，，進(jìn)一步即可進(jìn)行判斷；

（2）先根據(jù)切線長(zhǎng)定理和（1）題的結(jié)論得出CE＝BE，再由等腰三角形的性質(zhì)可得AE⊥BC，然后由OE⊥BC說(shuō)明A、O、E三點(diǎn)共線，再根據(jù)勾股定理即可求出結(jié)果.

解：（1）為等腰三角形.

證明：的內(nèi)切圓⊙O與AB、BC、AC分別相切于D、E、F，

，

四邊形內(nèi)角和是，，，

∵，，

，∴，

為等腰三角形；

（2）∵的內(nèi)切圓⊙O與AB、BC、AC分別相切于D、E、F，

∴AF=AD，CE=CF，BD=BE，

∵AC＝AB，∴CF=BD，∴CE＝BE，

連接AE，如圖，∴AE⊥BC，

又∵OE⊥BC，

∴AE過(guò)圓心O，

∵，

∴FC=CE=2，AC=6，

在直角△ACE中，由勾股定理得.