Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝8，點D是BC邊上的一個動點，點E在AC邊上，∠ADE＝∠B．設BD的長為x，CE的長為y．

（1）當D為BC的中點時，求CE的長；

（2）求y關于x的函數關系式，并寫出x的取值范圍；

（3）如果△ADE為等腰三角形，求x的值．

Answer 1

【答案】(1);(2) y＝﹣x2+x（0≤x＜8）；(3) 2或.

【解析】

（1）先根據等腰三角形的性質由AB=AC得∠B=∠C，再利用三角形外角性質得∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD，加上∠ADE=∠B，則∠BAD=∠CDE，根據相似三角形的判定方法待定△ABD∽△DCE，利用相似比得到y=-x2＋x（0≤x≤8），然后把x=4代入計算得到CE的長為；
（2）由（1）得到y關于x的函數關系式為y=-x2＋x（0≤x≤8）；
（3）由于∠AED＞∠C，而∠B=∠ADE=∠C，則∠AED＞∠ADE，所以AE＜AD，然后分類討論：當DA=DE時，利用△ABD∽△DCE得到=1，即x=y，得到一元二次方程-x2＋x＝x，解方程得x1=0（舍去），x2=2；當EA=ED時，得到∠EAD=∠ADE，而∠ADE=∠C，所以∠EAD=∠C，可判斷△DAC∽△ABC，利用相似比得到=，解得x=．

解：（1）∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，

而∠ADE＝∠B，

∴∠BAD＝∠CDE，

∴△ABD∽△DCE，

∴，

∴y=-x2＋x，

當x＝4時， y=-×16＋×4＝，

即當D為BC的中點時，CE的長為；

（2）由（1）得y關于x的函數關系式為y=-x2＋x（0≤x≤8）；

（3）∵∠AED＞∠C，

而∠B＝∠ADE＝∠C，

∴∠AED＞∠ADE，

∴AE＜AD，

當DA＝DE時，

∵△ABD∽△DCE，

∴，即＝1，

∴x＝y，

∴-x2＋x＝x，解得x1＝0（舍去），x2＝2，

當EA＝ED時，則∠EAD＝∠ADE，

而∠ADE＝∠C，

∴∠EAD＝∠C，

∴△DAC∽△ABC，

∴，即=，

∴x＝，

綜上所述，當△ADE為等腰三角形，x的值為2或．