Question

在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知點(diǎn)F（2

3

，0），直線GF交y軸正半軸于點(diǎn)G，且∠GFO=30°．
（1）直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（2）若⊙O的半徑為1，點(diǎn)P是直線GF上的動點(diǎn)，直線PA、PB分別約⊙O相切于點(diǎn)A、B．
①求切線長PB的最小值；
②問：在直線GF上是夠存在點(diǎn)P，使得∠APB=60°？若存在，請求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）根據(jù)含30度的直角三角形的三邊的關(guān)系得到OG=

3

3

OF=2，于是得到G點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）；
（2）連結(jié)OA、OB、OP，①由于PB為⊙O的切線，根據(jù)切線的性質(zhì)得OB⊥PB，在Rt△POB中，根據(jù)勾股定理得PB=

OP2-OB2

=

OP2-1

，則當(dāng)OP最小時，PB最小，此時OP⊥FG，在Rt△OPF中，根據(jù)含30度的直角三角形的三邊的關(guān)系得到OP=

1

2

OF=

3

，于是得到PB的最小值為

( 3 )2-1

=

2

；②由于PA、PB為⊙O的切線，根據(jù)切線長定理得∠OPB=

1

2

∠APB=30°，在Rt△OPB中，根據(jù)含30度的直角三角形的三邊的關(guān)系得OP=2OB=2，由于OG=2，所以點(diǎn)P在點(diǎn)G的位置時，滿足要求，此時P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）；由∠OFG=30°，可得∠OGF=60°，GF=2OG=4，加上OP=OG=2，于是可判斷△OPG為等邊三角形，則PG=OP=2，可判斷點(diǎn)P為GF的中點(diǎn)，然后根據(jù)線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到此時P點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

，1）．

解答：解：（1）∵點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2

3

，0），
∴OF=2

3

，
∵∠GFO=30°，
∴OG=

3

3

OF=2，
∴G點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）；
（2）連結(jié)OA、OB、OP，如圖，
①∵PB為⊙O的切線，
∴OB⊥PB，
∴∠PBO=90°，
在Rt△POB中，OB=1，
∴PB=

OP2-OB2

=

OP2-1

，
∴當(dāng)OP最小時，PB最小，
此時OP⊥FG，
在Rt△OPF中，OF=2

3

，∠OFP=30°，
∴OP=

1

2

OF=

3

，
∴PB的最小值為

( 3 )2-1

=

2

；
②存在．
∴PA、PB為⊙O的切線，
∴OP平分∠APB，
∴∠OPB=

1

2

∠APB=

1

2

×60°=30°，
在Rt△OPB中，OB=1，∠OPB=

1

2

∠APB=30°，
∴OP=2OB=2，
∵OG=2，
∴點(diǎn)P在點(diǎn)G的位置時，滿足要求，此時P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）；
∵∠OFG=30°，
∴∠OGF=60°，GF=2OG=4，
∵OP=OG=2，
∴△OPG為等邊三角形，
∴PG=OP=2，
∴點(diǎn)P為GF的中點(diǎn)，
∴此時P點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

，1），
綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）或（

3

，1）．

點(diǎn)評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的性質(zhì)、切線長定理和等邊三角形的判定與性質(zhì)；會運(yùn)用勾股定理和含30度的直角三角形的三邊的關(guān)系進(jìn)行幾何計算．