Question

設(shè)凸四邊形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O，且AD∥BC，則下面的四個命題：
①已知AB+BC=AD+DC，則ABCD為平行四邊形
②已知DC+DO=AO+AB，則ABCD為平行四邊形
③已知BC+BO+AO=AD+DO+CO，則ABCD為平行四邊形
④已知AD+CO=BC+AO，則ABCD為平行四邊形
其中正確命題的序號是________．（可以多選）

Answer 1

①、③、④
分析：①延長AD到F使得DF=DC，延長CB到E使得BE=AB，通過求證四邊形AECF是平行四邊形，即可推出∠E=∠F，∠EAF=∠ECF，其次根據(jù)∠E=∠BAE，∠F=∠DCF，推出∠BAE=∠DCF，即可求出∠BAD=∠BCD，再由∠BCA=∠DAC，求出∠BAC=∠DCA，即可推出AB∥CD，最后由對邊分別平行即可推出四邊形ABCD為平行四邊形，②首先假設(shè)命題中的結(jié)論成立，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出AB=CD，OA=OC，根據(jù)等式的性質(zhì)得到等式DC+CO=AO+AB，而不是題設(shè)中的DC+DO=AO+AB，由此推出假設(shè)不成立，③首先假設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出AD=BC，AB=CD，OA=OC，OB=OD，
根據(jù)等式的性質(zhì)可推出BC+BO+AO=AD+DO+CO，由此可得假設(shè)成立，④首先假設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出AD=BC，OA=OC，根據(jù)等式的性質(zhì)可推出AD+CO=BC+AO，由此可得假設(shè)成立．
解答：①延長AD到F使得DF=DC，延長CB到E使得BE=AB，
∴∠E=∠BAE，∠F=∠DCF，
∵AB+BC=AD+DC，
即BE+BC=AD+DF，
∴AF=CE，
∵AD∥BC，
∴AF∥CE，∠BCA=∠DAC，
∴四邊形AECF是平行四邊形，
∴∠E=∠F，∠EAF=∠ECF，
∵∠E=∠BAE，∠F=∠DCF，
∴∠BAE=∠DCF，
∴∠BAD=∠BCD，
∵∠BCA=∠DAC，
∴∠BAC=∠DCA，
∴AB∥CD，
∴四邊形ABCD為平行四邊形，
∴本項(xiàng)正確，
②假設(shè)四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB=CD，OA=OC，
∴DC+CO=AO+AB，
∵DC+DO=AO+AB，
∴假設(shè)不成立，
∴本項(xiàng)錯誤；
③假設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD=BC，AB=CD，OA=OC，OB=OD，
∴BC+BO+AO=AD+DO+CO，
∴假設(shè)成立，
∴本項(xiàng)正確，
④假設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD=BC，OA=OC，
∴AD+CO=BC+AO，
∴假設(shè)成立，
∴本項(xiàng)正確，
故答案為①③④．
點(diǎn)評：本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，利用反證法證明命題等知識點(diǎn)，關(guān)鍵在于正確的做出輔助線，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)和判定定理．