Question

（12分）如圖1，在四邊形ABCD的AB邊上任取一點E（點E不與點A、點B

重合），分別連接ED、EC，可以把四邊形ABCD分成3個三角形．如果其中有2個三角形

相似，我們就把點E叫做四邊形ABCD的AB邊上的相似點；如果這3個三角形都相似，

我們就把點E叫做四邊形ABCD的AB邊上的強(qiáng)相似點．

 

 

（1）若圖1中，∠A＝∠B＝∠DEC＝50°，說明點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點；

（2）①如圖2，畫出矩形ABCD的AB邊上的一個強(qiáng)相似點．（要求：畫圖工具不限，不寫畫法，保留畫圖痕跡或有必要的說明．）

②對于任意的一個矩形，是否一定存在強(qiáng)相似點？如果一定存在，請說明理由；如果不一定存在，請舉出反例．

（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B＝90°，點E是梯形ABCD的AB邊上的一個強(qiáng)相似點，判斷AE與BE的數(shù)量關(guān)系并說明理由．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）理由：∵∠A＝50°，

∴∠ADE＋∠DEA＝130°．

∵∠DEC＝50°，

∴∠BEC＋∠DEA＝130°．

∴∠ADE＝∠BEC．  …………………………………………………………1分

∵∠A＝∠B，

∴△ADE∽△BEC．  …………………………………………………………2分

∴點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點．  ……………………………3分

（2）①以CD為直徑畫弧，取該弧與AB的一個交點即為所求．（若不用圓規(guī)畫圖，則必須在圖上標(biāo)注直角符號或?qū)χ苯橇碛姓f明．）………………………5分

②對于任意的一個矩形，不一定存在強(qiáng)相似點，如正方形．(答案不惟一，若學(xué)生畫圖說明也可．) ………………………………………………………6分

（3）第一種情況：

∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，∠ADE＝∠BEC＝∠EDC，

即△ADE∽△BEC∽△EDC．

方法一：

如圖1，延長DE，交CB的延長線于點F， ………………………………7分

說明DE＝EF， ………………………………………………………………8分

說明AE＝BE． ………………………………………………………………9分

方法二：

如圖2，過點E作EF⊥DC，垂足為F． ………………………………7分

因為∠ADE＝∠CDE，∠BCE＝∠DCE，

所以AE＝EF，EF＝BE．

所以AE＝BE． ………………………………………………………………9分

方法三：

由△ADE∽△EDC可得＝，即AE＝．   …………………7分

 

同理，由△BEC∽△EDC可得＝，即BE＝， ……………8分

 

所以AE＝BE． ………………………………………………………………9分

第二種情況：

如圖3，∠A＝∠B＝∠EDC＝90°，∠ADE＝∠BCE＝∠DCE，

即△ADE∽△BCE∽△DCE．

所以∠AED＝∠BEC＝∠DEC＝60°，……………………………………10分

說明AE＝DE，BE＝CE，DE＝CE，

 

（或說明BE＝DE，AE＝DE，）

 

所以AE＝BE．

 

綜上，AE＝BE或AE＝BE．………………………………………………12分

 

【解析】略