【題目】如圖,經(jīng)過點A(0,﹣2)的拋物線y=x2+bx+c與x軸相交于點B(﹣1,0)和C,D為第四象限內(nèi)拋物線上一點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)過點D作y軸的平行線交AC于點E,若AD=AE,求點D的坐標;
(3)連接BD交AC于點F,求的最大值.
【答案】(1)y=x2﹣x﹣2;(2)(2,﹣3);(3).
【解析】試題分析:
(1)把點A、B的坐標代入y=x2+bx+c中列方程組解得b、c的值即可得到二次函數(shù)的解析式;
(2)如圖1,過點A作AH⊥DE于點H,由(1)中所得二次函數(shù)的解析式可求得點C的坐標,再由A、C坐標可求得直線AC的解析式,設出點D的坐標,則可表達出點E的坐標,由已知條件易得EH=DH,從而可列出方程求得點D的坐標;
(3)如圖2,過點D作DG⊥AC于點G,連接AB,先由已知條件易證△DGE∽△COA,結合(2)可得:DG=DE=(﹣m2+2m)=﹣(m2﹣4m);再利用勾股定理逆定理證∠BAC=90°,從而可證△DGF∽△BAF,由此可得: =﹣(m2﹣4m)=﹣(m﹣2)2+,即可得到: 的最大值.
試題解析:
(1)∵點A(0,﹣2)和點B(﹣1,0)均在拋物線上,
∴有,解得,
∴拋物線的解析式為y=x2﹣x﹣2.
(2)過點A作AH⊥DE,垂足為H,如圖1.
在y=x2﹣x﹣2中,令y=0得,x=﹣1或x=4,
∴點C坐標為(4,0).
∵點A坐標為(0,﹣2),
∴直線AC的解析式為y=x﹣2.
設點D坐標為(m, m2﹣m﹣2),
則點E坐標為(m, m﹣2),點H坐標為(m,﹣2).
∵AD=AE,AH⊥DE,
∴DH=HE,即﹣2﹣(m2﹣m﹣2)=m﹣2﹣(﹣2),
解得m1=2,m2=0(不合題意,舍去).
此時, m2﹣m﹣2=﹣3,
∴點D的坐標為(2,﹣3).
(3)過點D作DG⊥AC,垂足為G,連接AB,DE交x軸于點P,如圖2.
由(2)得,DE=﹣m2+2m.
∵點A(0,﹣2),點B(﹣1,0),點O(0,0),點C(4,0),
∴AB=,AC=2,BC=5,OC=4,OA=2.
∵DE∥y軸,DG⊥AC,
∴∠DGE=∠CPE=90°,
∵∠DEG=∠CEP(對頂角),
∴∠EDG=∠ECP=∠ACO.
又∵∠DGE=∠COA=90°,
∴△DGE∽△COA,
∴,
∴DG=DE=(﹣m2+2m)=﹣(m2﹣4m).
∵AB=,AC=2,BC=5,
∴AB2+AC2=BC2,
∴∠BAC=90°,
又∵∠DFG=∠BFA,
∴△DGF∽△BAF.
∴=﹣(m2﹣4m)=﹣(m﹣2)2+.
∴的最大值為.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某校舉辦了一次趣味數(shù)學競賽,滿分100分,學生得分均為整數(shù),達到成績60分及以上為合格,達到90分及以上為優(yōu)秀,這次競賽中,甲乙兩組學生成績?nèi)缦,甲組:30,60,60,60,60,60,70,90,90,100 ;乙組:50,60,60,60,70,70,70,70,80,90.
(1)以上成績統(tǒng)計分析表中a=______分,b=______分,c=_______分;
組別 | 平均數(shù) | 中位數(shù) | 方差 | 合格率 | 優(yōu)秀率 |
甲組 | 68分 | a | 376 | 30% | |
乙組 | b | c | 90% |
(2)小亮同學說:這次競賽我得了70分,在我們小組中屬于中游略偏上,觀察上面表格判斷,小亮可能是甲乙哪個組的學生?并說明理由
(3)計算乙組的方差和優(yōu)秀率,如果你是該校數(shù)學競賽的教練員,現(xiàn)在需要你選一組同學代表學校參加復賽,你會選擇哪一組?并說明理由
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)圖象的頂點為D,其圖象與x軸的交點A、B的橫坐標分別為﹣1,3.與y軸負半軸交于點C,在下面五個結論中:
①2a﹣b=0;②c=﹣3a;③當m≠1時,a+b<am2+bm;
④若ax12+bx1=ax22+bx2,且x1≠x2,則x1+x2=2;
⑤使△ACB為等腰三角形的a值可以有三個.其中正確的結論是_________.(只填序號)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】先閱讀下列一段文字,再解答問題:
已知在平面內(nèi)有兩點,,其兩點間的距離公式為;同時,當兩點所在的直線在坐標軸上或平行于坐標軸或垂直于坐標軸時,兩點間距離公式可簡化為或.
(1)已知點A(2,4),B(-2,1),則AB=__________;
(2)已知點C,D在平行于y軸的直線上,點C的縱坐標為4,點D的縱坐標為-2,則CD=__________;
(3)已知點P(3,1)和(1)中的點A,B,判斷線段PA,PB,AB中哪兩條線段的長是相等的?并說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】將一副三角板按如圖放置,小明得到下列結論:①如果∠2=30°,則有AC∥DE;②∠BAE+∠CAD=180°;③如果BC∥AD,則有∠2=30°;④如果∠CAD=150°,則∠4=∠C;那么其中正確的結論有________
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】平面直角坐標系中,A(0,4),點P從原點O開始向x軸正方向運動,設P點橫坐標為m,以點P為圓心,PO為半徑作⊙P交x 軸另一點為C,過點A作⊙P的切線交 x軸于點B,切點為Q.
(1)如圖1,當B點坐標為(3,0)時,求m;
(2)如圖2,當△PQB為等腰三角形時,求m;
(3)如圖3,連接AP,作PE⊥AP交AB于點E,連接CE,求證:CE是⊙P的切線;
(4)若在x軸上存在點M(8,0),在點P整個運動過程中,求MQ的最小值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB⊥BC,AD⊥DC,∠BAD=100°,在BC、CD上分別找一點M、N,當△AMN的周長最小時,∠AMN+∠ANM的度數(shù)是_____.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC= ,∠C=30°.點D從點C出發(fā)沿CA方向以每秒2個單位長的速度向點A勻速運動,同時點E從點A出發(fā)沿AB方向以每秒1個單位長的速度向點B勻速運動,當其中一個點到達終點時,另一個點也隨之停止運動.設點D、E運動的時間是t秒(t>0).過點D作DF⊥BC于點F,連接DE、EF.
(1)求證:AE=DF;
(2)四邊形AEFD能夠成為菱形嗎?如果能,求出相應的t值;如果不能,說明理由.
(3)當t為何值時,△DEF為直角三角形?請說明理由.
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